Binômio de Newton

O Binômio de Newton se relaciona fortemente com o Triângulo de Pascal e com os números binomiais. Dessa forma, é importante que você tenha estudado e já possua algum domínio com essas duas matérias, para poder seguir em frente com o Binômio de Newton, beleza?

Lembrando que a definição de número binomial é:

\(binom{n}{p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}\)

Note como podemos escrever as seguintes expressões:

\((x+a)^{0}=1\\\)

\((x+a)^{1}=x+a\\\)

\((x+a)^{2}=x^{2}+2xa+a^{2}\\\)

\((x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+a^{3}\)

Etc...

Percebemos que os coeficientes nas expressões acima formam sequências binomiais! Veja:

1

1    1

1    2    1

1    3    3    1

Etc...

Assim, podemos dizer que esse resultado vale para (x+a)^{n}, para todo “n” natural. Quando desenvolvemos essa potência, obtemos o Binômio de Newton:

\((x+a)^{n}=\binom{n}{0}x^{n}a^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}a^{1}+...+\binom{n}{n}x^{0}a^{n}\)

Podemos escrever a fórmula acima em forma de somatório também:

\((x+a)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{n-i}a^{i}\)

Exemplo 1

Observe:

\((x+2)^{7}=\sum_{i=0}^{7}\binom{7}{i}x^{7-i}2^{i}\)

\((x+2)^{7}=x^{7}+7x^{6}2+21x^{5}2^{2}+...+2^{7}\)

Lembre-se, o número de termos no desenvolvimento de (x+a)^{n} é o número de elementos da sequência binomial de número n, ou seja, (n+1) termos!

A fórmula do termo geral em função da sua posição é dada por:

\(T_{i+1}=\binom{n}{i}x^{n-i}a^{i}\)

Exemplo 2

O quinto termo do desenvolvimento de (x-2)^{8} é:

\(T_{5}=\binom{8}{4}x^{8-4}(-2)^{4}=16.70x^{4}\rightarrow T_{5}=1120x^{4}\)

O Triângulo de Pascal é uma tabela que mostra propriedades importantes dos número binomiais. Essa tabela é formada pelos números binomiais \binom{i}{j}, sendo “j” o número da coluna e “i” o número da linha. Ressalta-se que como ij, a tabela tem formato triangular. Observe:

\(\binom{0}{0}\)

\(\binom{1}{0} \ \ \ \ \ \binom{1}{1}\)

\(\binom{2}{0} \ \ \ \ \ \binom{2}{1} \ \ \ \ \ \binom{2}{2}\)

\(\binom{3}{0} \ \ \ \ \ \binom{3}{1} \ \ \ \ \ \binom{3}{2} \ \ \ \ \ \binom{3}{3}\)

\(...\ \ \ \ \ ... \ \ \ \ \ ... \ \ \ \ \ ...\)

Desenvolvendo os binomiais, temos:

1

1    1

1    2    1

1    3    3    1

…    …    …    …

Dessa forma, cada termo do desenvolvimento da potência (x+a)^{n} se associa com o desenvolvimento de um binomial no Triângulo de Pascal. Percebemos, então, que este triângulo nos auxilia com o desenvolvimento das expressões do Binômio de Newton!

Vamos ver agora alguns exemplos para nos ajudar a fixar e compreender melhor o conteúdo.

Exemplo 3

Qual a soma dos coeficientes no desenvolvimento de \((x+2y)^{11}?

Resolução: o valor numérico de qualquer expressão polinomial, quando se atribui o valor 1 a todas as variáveis, é igual à soma dos coeficientes. Assim, temos:

\((1+2)^{11}=3^{11}=177147\)

Exemplo 4

Qual o termo independente de x no desenvolvimento de (6x^{2}-\frac{1}{3x^{3}})^{15}?

Resolução: temos que o termo geral é dado por:

\(T_{i+1}=\binom{15}{i}(6x^{2})^{15-i}(\frac{-1}{3x^{3}})^{i}\rightarrow T_{i+1}=\binom{15}{i}6^{15-i}(\frac{-1}{3})^{i}x^{30-5i}\)

O termo independente de x é aquele em que o expoente de x é nulo. Assim, temos:

30-5i=0\rightarrow i=6

O termo independente é, então: 

\(T_{7}=\binom{15}{6}6^{9}(\frac{-1}{3})^{6}\rightarrow T_{7}=\binom{15}{6}2^{9}3^{3}\)