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Matemática

Triângulo

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

Os triângulos são os polígonos convexos com o menor número de lados possíveis. Dentre as mais diversas aplicações, os resultados principais que envolvem triângulos são a trigonometria e o Teorema de Pitágoras.

Representação

A fim de facilitar a resolução de exercícios, é comum indicarmos os vértices de um triângulo por letras maiúsculas.

Na figura abaixo, temos o triângulo \( ABC\).

Classificação

Podemos classificar um triângulo de dois modos: seja pela medida dos lados ou seja pela medida de seus ângulos internos.

Classificação quanto às medidas dos lados

Um triângulo, em relação às medidas de seus lados pode ser classificado como:

  • Triângulo equilátero: se os três lados possuem medidas iguais;

            

  • Triângulo isósceles: caso dois lados tiverem a mesma medida;

  • Triângulo escaleno: se todos os lados tiverem medidas diferentes.

No caso do triângulo equilátero, podemos mostrar que os três ângulos internos também têm a mesma medida.

O lado com a medida diferente em um triângulo isósceles é chamado de base do triângulo e os ângulos da base têm a mesma medida, conforme ilustra a figura a seguir.

Classificação quanto às medidas dos ângulos

Dentre os valores dos ângulos internos de um triângulo, temos as seguintes classificações:

  • Triânguloacutângulo: é aquele com todos os ângulos internos agudos, isto é, menores que 90°;

  • Triânguloretângulo: ocorre quando um ângulo interno é reto (vale 90°);

  • Triânguloobtusângulo: é aquele com um ângulo obtuso, ou seja, cuja medida é maior que 90°.

Em qualquer polígono, o lado oposto ao ângulo interno de maior medida é também o maior lado. Assim, em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é o lado de maior medida e é chamado de hipotenusa e os outros dois lados restantes são definidos como os catetos do triângulo.

Ângulos de um triângulo

Ângulos internos de um triângulo

É possível mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°. Tal resultado vale para qualquer triângulo, não importa o formato dele e tão pouco as medidas de seus lados.

É por causa desse resultado que é impossível haver mais de um ângulo interno que seja reto ou obtuso em um triângulo; ou seja, teremos sempre apenas três possibilidades: ou se tem apenas ângulos agudos ou um único ângulo reto e dois agudos ou um único ângulo obtuso e dois agudos, que nada mais são que as classificações listadas anteriormente quanto às medidas dos ângulos internos.

A partir do resultado da soma dos ângulos internos de um triângulo, consideremos um triângulo equilátero. Temos que as medidas de seus ângulos internos são iguais entre si:

E como a soma dele é igual a 180°, temos:

$$ x+x+x=180º\Rightarrow 3x=180º$$

Ou seja, em todo triângulo equilátero, a medida de cada ângulo interno vale 60°.

Se considerarmos um triângulo retângulo isósceles, então os dois ângulos agudos serão iguais entre si:

Assim, a medida de cada ângulo agudo nesse caso será de 45°.

Tomemos agora um triângulo retângulo qualquer:

Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, então:

$$ x+y+90º=180º\Rightarrow x+y=90º$$

Ou seja, concluímos que a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo sempre vale 90°, isto é, eles são complementares.

Ângulo externo de um triângulo

Um ângulo externo de um triângulo qualquer é aquele que se forma quando prolongamos um dos seus lados, conforme ilustra a figura abaixo.

É possível observar que a soma entre um ângulo externo e o interno adjacente a ele vale 180°, ou seja, eles são suplementares.

Usando tal resultado com o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois internos não adjacentes a ele:

Área de um triângulo

Área em função da base e da altura

Se a base de um triângulo tiver medida \( b\) e sua altura medir \( h\), então a área é dada por

$$ A=\frac{b\cdot h}{2}$$

Área de um triângulo equilátero

Um caso particular de área de triângulo é quando ele tiver os três lados iguais medindo \( \ell\). Então sua área será

$$ A=\frac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}$$

Área em função dos lados

Se os lados de um triângulo medem \( a,b,c\) então seu semiperímetro é igual a

$$ p=\frac{a+b+c}{2}$$

e sua área é dada por

$$ A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

A fórmula acima é conhecida como Fórmula de Herão.

Área em função de um ângulo e dois lados

Se dois lados de um triângulo medem \( a, b\) e se \( \theta\) for a medida do ângulo que se forma entre eles, então a área do triângulo é igual a

$$ A=\frac{a\cdot b\cdot\sin\theta}{2}$$

Área em função do raio da circunferência inscrita

Caso \( p\) seja o semiperímetro do triângulo e \( r\) a medida do raio da circunferência inscrita, então

$$ A=p\cdot r$$

Área em função do raio da circunferência circunscrita

Sendo \( R\) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo com lados medindo \( a,b,c\) então a sua área vale

$$ A=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(MACKENZIE)

Na figura, \( ABCD\) é um quadrado e \( APD\) é um triângulo equilátero. A medida do ângulo \( \alpha\) é:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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