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Matemática

Retângulo

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

Um retângulo é todo paralelogramo (ou seja, tem dois pares lados paralelos) que possui os quatro ângulos internos congruentes, isto é, possuem a mesma medida.

Como um retângulo é um quadrilátero, então a soma dos seus ângulos internos vale 360º. Mas, por definição, os quatro ângulos internos de um retângulo possuem a mesma medida, que chamaremos de \( x\), assim:

$$ x+x+x+x=360º\Rightarrow 4x=360º$$

ou seja,

$$ x=90º$$

isto é, os quatro ângulos internos de um retângulo são ângulos retos.

Elementos de um retângulo

Dado o retângulo \( ABCD\) na figura a seguir, então chamamos de vértices os pontos \( A,B,C\) e \( D\).

Os lados do retângulos são os segmentos de reta com extremidades nos vértices, ou seja, \( \bar{AB},\bar{BC},\bar{CD}\) e \( \bar{AD}\). Claramente, os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são opostos e paralelos entre si, bem como os lados \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).

Chamamos os segmentos \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\) de diagonais do retângulo.

Ainda, os ângulos \( A\hat{B}C,B\hat{C}D,C\hat{D}A\) e \( D\hat{A}B\) são os ângulos internos do retângulo e, como já visto, cada um deles é um ângulo reto, isto é, sua medida é igual a 90º.

Propriedades de um retângulo

Lados de um retângulo

Os lados paralelos de um retângulo são côngruos entre si, ou seja, possuem a mesma medida.

Da figura acima, temos que \( AB=CD\) e \( AD=BC\).

Diagonais de um retângulo

As diagonais de um retângulo se encontram em seus respectivos pontos médios, isto é, na figura abaixo, sendo \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\) as diagonais e \( M\) o ponto médio delas, então

$$ AM=MC$$

e

$$ BM=MD$$

Além disso, as diagonais de um retângulo são congruentes, ou seja, elas têm a mesma medida, isto é

$$ AC=BD$$

Por exemplo, se a diagonal \(AC\) de um retângulo medir 6cm, então necessariamente a outra diagonal \(BC\) também medirá 6cm. Além disso, como \(M\) é ponto médio, então temos que

$$AM=MC=BM=CD=3cm$$

E a recíproca é verdadeira: se um paralelogramo tiver diagonais congruentes entre si, então o paralelogramo é necessariamente um retângulo.

Considerando o retângulo abaixo, onde chamamos o lado de medida \( b\) de base do retângulo e o lado de medida \( h\), a sua altura, então uma das diagonais, obtemos um triângulo retângulo:

Supondo que a diagonal tenha comprimento igual a \( d\), então podemos calcular o seu valor através do Teorema de Pitágoras:

$$d^{2}=b^{2}+h^{2}$$

Por exemplo, se um triângulo tiver dimensões (isto é, lados) de medidas iguais a 4 e 3, então a sua diagonal vale:

$$d^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9\Rightarrow d^{2}=25$$

Portanto

$$d=\sqrt{25}\Rightarrow d=5$$

Área do retângulo

A área de um retângulo de dimensões, isto é, com as medidas da base igual a \( b\) e da altura igual a \( h\) é dada pelo produto da base pela altura:

$$A=b\cdot h$$

Caso tivermos um retângulo cuja base mede 12cm e a altura meça 3cm, por exemplo, então sua área será:

$$A=b\cdot h=12\cdot3\Rightarrow A=36cm^{2}$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(FUVEST)

O retângulo a seguir de dimensões \( a\) e \( b\) está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão \( a/b\)?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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