Um quadrilátero é todo polígono que possui quatro lados. No nosso estudo, trabalharemos com quadriláteros convexos.
Um quadrilátero é dito convexo quando, ao tomarmos dois pontos distintos no seu interior, podemos traçar um segmento de reta totalmente no interior do quadrilátero, conforme a figura a seguir.
Um quadrilátero será não-convexo (ou côncavo) se isso não acontecer, ou seja, se existir um segmento de reta ligando dois pontos do interior do quadrilátero passando pela região externa da figura. Abaixo há um exemplo de um quadrilátero não-convexo.
Dado o quadrilátero \( ABCD\) abaixo, observamos que:
Em particular, os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são chamados de lados opostos, bem como os lados \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).
Além disso, os ângulos \( A\hat{B}C\) e \( C\hat{D}A\) são os ângulos opostos do quadrilátero assim como o par de ângulos \( B\hat{C}D\) e \( D\hat{A}B\).
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A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é sempre igual a 360º.
$$ \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360º$$
Tal resultado segue da soma dos ângulos internos de um triângulo. Pois, ao traçarmos a diagonal \( \bar{AC}\), por exemplo, obtemos dois triângulos cuja soma dos ângulos internos vale 180º. Logo, a soma de todos os ângulos do quadrilátero é 180º+180º=360º.
Além disso, se um quadrilátero for inscrito em uma circunferência, isto é, se seus vértices forem pontos de uma circunferência, conforme ilustrado abaixo, então os ângulos opostos são suplementares, isto é, a sua soma vale 180º. Isso é uma propriedade de ângulos no círculo.
$$ \hat{A}+\hat{C}=\hat{B}+\hat{D}=180º$$
Uma forma geométrica é circunscrita a uma circunferência se seus lados tangenciarem tal circunferência, isto é, se cada lado da figura tiver um único ponto em comum com a circunferência.
Se em um quadrilátero convexo \( ABCD\) a soma das medidas de dois lados opostos forem iguais entre si,então o quadrilátero será circunscrito a uma circunferência:
$$ AB+CD=AD+BC\Rightarrow ABCD\;\text{circunscritível}$$
Tal resultado decorre de segmentos de mesma origem que são tangentes a uma circunferência.
Um trapézio é todo quadrilátero que contém um par de lados opostos paralelos. Na figura a seguir, temos o trapézio \( ABCD\) com os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) paralelos entre si.
No trapézio, os lados paralelos são chamados de bases do trapézio enquanto que os outros dois lados são ditos os lados oblíquos. No trapézio da figura acima, as suas bases são \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) e os seus lados oblíquos, \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).
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Um paralelogramo é um quadrilátero que contém dois pares de lados opostos paralelos. No paralelogramo \( ABCD\) abaixo, os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são opostos entre si, bem como \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).
Note que, pela definição, todo paralelogramo é um trapézio, mas o contrário não é verdadeiro.
Todo paralelogramo que possui os quatro ângulos internos congruentes é chamado de retângulo.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é sempre 360º, então necessariamente os ângulos internos de um retângulo valem todos 90º.
Um losango é todo paralelogramo com os quatro lados congruentes entre si. Abaixo, no losango \( ABCD\) vemos que \( AB=BC=CD=AD\).
Um paralelogramo que tem os quatro ângulos internos de mesma medida e os quatro lados congruentes entre si é chamado de quadrado. Ou seja, um quadrado é uma “junção” das definições de retângulo e losango.
Os ângulos internos de um quadrado são necessariamente ângulos retos.
Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: