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Matemática

Quadrilátero

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

Um quadrilátero é todo polígono que possui quatro lados. No nosso estudo, trabalharemos com quadriláteros convexos.

Um quadrilátero é dito convexo quando, ao tomarmos dois pontos distintos no seu interior, podemos traçar um segmento de reta totalmente no interior do quadrilátero, conforme a figura a seguir.

Um quadrilátero será não-convexo (ou côncavo) se isso não acontecer, ou seja, se existir um segmento de reta ligando dois pontos do interior do quadrilátero passando pela região externa da figura. Abaixo há um exemplo de um quadrilátero não-convexo.

Elementos de um quadrilátero

Dado o quadrilátero \( ABCD\) abaixo, observamos que:

  • \( A, B, C\) e \( D\) são os seus vértices;
  • Os segmentos \( \bar{AB},\bar{BC},\bar{CD}\) e \( \bar{AD}\) são os lados do quadrilátero;
  • Os segmentos \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\) são as diagonais do quadrilátero;
  • Os ângulos \( A\hat{B}C,B\hat{C}D,C\hat{D}A,D\hat{A}B\) são seus ângulos internos.

Em particular, os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são chamados de lados opostos, bem como os lados \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).

Além disso, os ângulos \( A\hat{B}C\) e \( C\hat{D}A\) são os ângulos opostos do quadrilátero assim como o par de ângulos \( B\hat{C}D\) e \( D\hat{A}B\).

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Ângulos internos

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é sempre igual a 360º.

$$ \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360º$$

Tal resultado segue da soma dos ângulos internos de um triângulo. Pois, ao traçarmos a diagonal \( \bar{AC}\), por exemplo, obtemos dois triângulos cuja soma dos ângulos internos vale 180º. Logo, a soma de todos os ângulos do quadrilátero é 180º+180º=360º.

Quadrilátero inscrito em uma circunferência

Além disso, se um quadrilátero for inscrito em uma circunferência, isto é, se seus vértices forem pontos de uma circunferência, conforme ilustrado abaixo, então os ângulos opostos são suplementares, isto é, a sua soma vale 180º. Isso é uma propriedade de ângulos no círculo.

$$ \hat{A}+\hat{C}=\hat{B}+\hat{D}=180º$$

Quadrilátero circunscrito a uma circunferência

Uma forma geométrica é circunscrita a uma circunferência se seus lados tangenciarem tal circunferência, isto é, se cada lado da figura tiver um único ponto em comum com a circunferência.

Se em um quadrilátero convexo \( ABCD\) a soma das medidas de dois lados opostos forem iguais entre si,então o quadrilátero será circunscrito a uma circunferência:

$$ AB+CD=AD+BC\Rightarrow ABCD\;\text{circunscritível}$$

Tal resultado decorre de segmentos de mesma origem que são tangentes a uma circunferência.

Quadriláteros notáveis

Trapézio

Um trapézio é todo quadrilátero que contém um par de lados opostos paralelos. Na figura a seguir, temos o trapézio \( ABCD\) com os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) paralelos entre si.

No trapézio, os lados paralelos são chamados de bases do trapézio enquanto que os outros dois lados são ditos os lados oblíquos. No trapézio da figura acima, as suas bases são \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) e os seus lados oblíquos, \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).

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Paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero que contém dois pares de lados opostos paralelos. No paralelogramo \( ABCD\) abaixo, os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são opostos entre si, bem como \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\).

Note que, pela definição, todo paralelogramo é um trapézio, mas o contrário não é verdadeiro.

Retângulo

Todo paralelogramo que possui os quatro ângulos internos congruentes é chamado de retângulo.

Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é sempre 360º, então necessariamente os ângulos internos de um retângulo valem todos 90º.

Losango

Um losango é todo paralelogramo com os quatro lados congruentes entre si. Abaixo, no losango \( ABCD\) vemos que \( AB=BC=CD=AD\).

Quadrado

Um paralelogramo que tem os quatro ângulos internos de mesma medida e os quatro lados congruentes entre si é chamado de quadrado. Ou seja, um quadrado é uma “junção” das definições de retângulo e losango.

Os ângulos internos de um quadrado são necessariamente ângulos retos.

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(UFRJ)

Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:

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