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Matemática

Losango

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 18/10/2018

Introdução

Um losango é um paralelogramo em que os quatro lados são congruentesentre si, ou seja, todos os lados têm o mesmo comprimento.


Elementos de um losango

Dado o losango \( ABCD\) a seguir, então


chamamos de vértices os pontos \(A,B,C\) e \( D\). Os lados do losango são os segmentos de reta que unem esses vértices, ou seja, \( \bar {AB},\bar {BC},\bar {CD}\) e \( \bar {AD}\).

Ainda, as diagonais do losango são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, neste caso temos que \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\) são as diagonais do losango ilustrado acima. Chamamos de \( \bar{AC}\) a diagonal menor do losango e \( \bar{BD}\) de diagonal maior.


Por fim, os ângulos \( A\hat{B}C,B\hat {C}D,C\hat{D}A\) e \(D\hat{A}B\) são os ângulos internos do losango.

Propriedades de um losango

Ângulos internos de um losango

A soma dos ângulos internos de um losango vale 360º. Este resultado, aliás, ocorre para todo quadrilátero convexo.

Além disso, dois ângulos consecutivos de um losango são suplementares, ou seja, a soma entre eles é igual a 180º.

Podemos também mostrar que os ângulos opostossão congruentes entre si, isto é, eles têm a mesma medida.


Na figura acima, \( \hat{A}=\hat{C}\) e \( \hat{B}=\hat{D}\).

Diagonais de um losango

Por se tratar de um tipo de paralelogramo, então as diagonais do losango se cortam em seus respectivos pontos médio. Considerando o losango \( ABCD\) a seguir, então


$$AM=MC$$

e

$$BM=MD$$

Observe que as diagonais do losango formam quatro triângulos \( AMB, BMC, CMD\) e \( DMA\). É possível mostrar que tais triângulos são congruentes entre si. Evidentemente, os triângulos \( ABD\) e \(BCD\) também são côngruos, bem como os triângulos \( ACD\) e \( ABC\).

Em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si, isto é, o ângulo que se forma em seu cruzamento é um ângulo reto, ou seja, tem medida igual a 90º.


E também podemos mostrar que as diagonais de um losango coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos, isto é, dividem-os ao meio.

Área de um losango

Se \( ABCD\) for um losango de modo que as medidas das diagonais maior e menor forem iguais, respectivamente, a \( D\) e \( d\), então a área do losango é dada pela metade do produto entre as medidas das diagonais maior e menor, isto é:

$$ A=\frac{D\cdot d}{2}$$


Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(Quero bolsa)

A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual à terça parte de um reto. Então o maior ângulo do losango vale:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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