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Índice
Introdução
Um losango é um paralelogramo em que os quatro lados são congruentesentre si, ou seja, todos os lados têm o mesmo comprimento.
Elementos de um losango
Dado o losango \( ABCD\) a seguir, então
chamamos de vértices os pontos \(A,B,C\) e \( D\). Os lados do losango são os segmentos de reta que unem esses vértices, ou seja, \( \bar {AB},\bar {BC},\bar {CD}\) e \( \bar {AD}\).
Ainda, as diagonais do losango são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, neste caso temos que \( \bar{AC}\) e \( \bar{BD}\) são as diagonais do losango ilustrado acima. Chamamos de \( \bar{AC}\) a diagonal menor do losango e \( \bar{BD}\) de diagonal maior.
Por fim, os ângulos \( A\hat{B}C,B\hat {C}D,C\hat{D}A\) e \(D\hat{A}B\) são os ângulos internos do losango.
Principais conclusões
- Um losango é um paralelogramo cujos quatro lados são congruentes entre si, ou seja, todos têm o mesmo comprimento; é um quadrilátero convexo com vértices A, B, C, D e diagonais AC (menor) e BD (maior).
- As diagonais de um losango se cruzam em seus pontos médios, são perpendiculares entre si e funcionam como bissetrizes dos ângulos internos, gerando quatro triângulos congruentes; ângulos opostos são iguais e ângulos consecutivos somam 180°.
- Como caso especial de paralelogramo e quadrilátero convexo, o losango pertence à geometria euclidiana e é usado para demonstrar congruência de triângulos por decomposição; suas propriedades fundamentam construções e provas em geometria plana.
- Em questões do ENEM, erros frequentes incluem confundir losango com quadrado ou com outros quadriláteros, aplicar área equivocada e esquecer que as diagonais são perpendiculares e bissetrizes; conecta-se com física (componentes vetoriais) e desenho técnico.
- A área do losango é A = (D·d)/2, onde D e d são as diagonais maior e menor; essa relação e a perpendicularidade das diagonais permitem calcular lados, alturas e aplicar o Teorema de Pitágoras em problemas práticos e exercícios de prova.
Propriedades de um losango
Ângulos internos de um losango
A soma dos ângulos internos de um losango vale 360º. Este resultado, aliás, ocorre para todo quadrilátero convexo.
Além disso, dois ângulos consecutivos de um losango são suplementares, ou seja, a soma entre eles é igual a 180º.
Podemos também mostrar que os ângulos opostossão congruentes entre si, isto é, eles têm a mesma medida.
Na figura acima, \( \hat{A}=\hat{C}\) e \( \hat{B}=\hat{D}\).
Diagonais de um losango
Por se tratar de um tipo de paralelogramo, então as diagonais do losango se cortam em seus respectivos pontos médio. Considerando o losango \( ABCD\) a seguir, então
$$AM=MC$$
e
$$BM=MD$$
Observe que as diagonais do losango formam quatro triângulos \( AMB, BMC, CMD\) e \( DMA\). É possível mostrar que tais triângulos são congruentes entre si. Evidentemente, os triângulos \( ABD\) e \(BCD\) também são côngruos, bem como os triângulos \( ACD\) e \( ABC\).
Em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si, isto é, o ângulo que se forma em seu cruzamento é um ângulo reto, ou seja, tem medida igual a 90º.
E também podemos mostrar que as diagonais de um losango coincidem com as bissetrizes dos ângulos internos, isto é, dividem-os ao meio.
Área de um losango
Se \( ABCD\) for um losango de modo que as medidas das diagonais maior e menor forem iguais, respectivamente, a \( D\) e \( d\), então a área do losango é dada pela metade do produto entre as medidas das diagonais maior e menor, isto é:
$$ A=\frac{D\cdot d}{2}$$
Fórmulas
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Exercício de fixação
Exercícios sobre Losango para vestibular
Quero bolsa
A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual à terça parte de um reto. Então o maior ângulo do losango vale:
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