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Matemática

Paralelogramo

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 19/10/2018

Introdução

Um paralelogramo é todo quadrilátero convexo com dois pares de lados paralelos:


Na figura acima, temos o paralelogramo \(ABCD\) com o lado \(\bar{AB}\) paralelo ao lado \(\bar{CD}\) e o lado \(\bar{AD}\) paralelo ao lado \(\bar{BC}\).

Elementos de um paralelogramo

Dado o paralelogramo \(ABCD\) abaixo, então temos que


os seus vértices são os pontos \(A, B, C\) e \(D\); os lados do paralelogramo são os segmentos de reta unindo tais vértices, ou seja, \(\bar{AB},\bar{BC},\bar{CD}\) e \(\bar{AD}\); e as diagonais são os segmentos unindo dois vértices não consecutivos, ou seja: \(\bar{AC}\) e \(\bar{BD}\).

Além disso, os ângulos \(A\hat{B}C,B\hat{C}D,C\hat{D}A\) e \(D\hat{A}B\) são os chamados ângulos internos do paralelogramo.

Propriedades de um paralelogramo

Ângulos internos de um paralelogramo

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360º, não importa qual quadrilátero seja. Como um paralelogramo é, antes de tudo, um quadrilátero convexo, então tal propriedade também se aplica a ele.

Além disso, em um paralelogramo, temos que dois ângulos consecutivos, isto é, um seguido do outro, são suplementares, ou seja, a soma entre eles vale 180º.


No paralelogramo \(ABCD\) a seguir, os ângulos internos \(\hat{A}\) e \(\hat{C}\) são ditos opostos; o mesmo pode se dizer sobre o par de ângulos \(\hat{B}\) e \(\hat{D}\). Pode-se mostrar que, num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Então, por exemplo, no paralelogramo da figura acima, se \(\hat{A}=100º\), então como o ângulo \(\hat{C}\) é oposto a ele, temos que a medida de \(\hat{C}\) também é de 100º.

Além disso, sendo \(\hat{A}\) e \(\hat{D}\) consecutivos, segue que

$$\hat{A}+\hat{D}=180º\Rightarrow100º+\hat{D}=180º\Rightarrow\hat{D}=80º$$

E, portanto, como \(\hat{B}\) é oposto a \(\hat{D}\), obtemos \(\hat{B}=80º\).

Além disso, a recíproca desta propriedade é verdadeira: isto significa que se um quadrilátero tiver os ângulos opostos congruentes entre si, então necessariamente este quadrilátero é um paralelogramo.

Lados de um paralelogramo

Em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes, ou seja, eles possuem o mesmo comprimento.


Na figura acima, no paralelogramo \(ABCD\), temos que \(AB=CD\) e \(AD=BC\).

Diagonais de um paralelogramo

As diagonais de um quadrilátero são os segmentos de reta com extremo em dois vértices não consecutivos. Deste modo, na figura a seguir, as diagonais do paralelogramo são os segmentos \(\bar{AC}\) e \(\bar{BD}\):


Em um paralelogramo, as diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios, ou seja:

$$AM=MC$$

e

$$BM=MD$$

Além disso, ao se traçarem as diagonais, elas formam dois pares de triângulos côngruos: \(\triangle AMB\cong\triangle CMD\) e \(\triangle AMD\cong\triangle BMC\)

Área de um paralelogramo

A altura de um paralelogramo é a menor distância entre dois lados paralelos. Considerando o paralelogramo \(ABCD\) a seguir, tomemos como \(h\) a distância entre os lados paralelos \(\bar{AB}\) e \(\bar{CD}\):


Com isso, chamaremos de base do paralelogramo o lado \(\bar{CD}\). Se a medida da base for igual a \(b\), então a área do paralelogramo é igual ao produto da base pela sua altura, ou seja:

$$A=b\cdot h$$

Supondo que um paralelogramo, por exemplo, tenha medida da sua base igual a 4,5cm e sua altura meça 2cm, segue que sua área é igual a:

$$A=b\cdot h=4,5\cdot2\Rightarrow A=9cm^{2}$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(UNIFESP)

Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão

na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo mede:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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