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Matemática

Círculo e Circunferência

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 18/10/2018

Introdução

Circunferência

Chamamos de circunferência o conjunto de todos os pontos que equidistam, isto é, tem a mesma distância de um ponto fixado.


A essa distância damos o nome de raio \( r\) da circunferência. O ponto \( O\) fixado é chamado de centro da circunferência.

Elementos de uma circunferência

Uma corda é todo segmento de reta cujas extremidades são pontos da circunferência. Abaixo, temos a corda \( AB\) .


Um caso particular de uma corda é o diâmetro: além de ter extremos em pontos da circunferência, o diâmetro necessariamente passa pelo seu centro. Na figura a seguir \( CD\) é um diâmetro.


É evidente que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio

\( d =2r\)

Chamamos de arco de extremidades nos pontos \( A\) e \( B\) da circunferência (e denotamos por \(\stackrel \frown{AB}\) o conjunto de todos os pontos da circunferência que estão entre \( A\) e \( B\) .


Observe que é possível formar dois arcos com as mesmas extremidades. De modo geral, consideramos aquele que possui menor comprimento.

E um caso particular de arco é quando os seus extremos coincidem com as extremidades de um diâmetro. Quando isso acontecer, chamamos o arco de semicircunferência.


Comprimento de uma circunferência

O comprimento (ou perímetro) de uma circunferência de raio \( r\) é dado por

\( C=2\pi r\)

onde \( \pi\) é um número irracional igual a aproximadamente 3,14.

Posições relativas entre reta e circunferência

Dada uma reta \( r\) e uma circunferência \( \lambda\) temos as seguintes posições relativas entre elas:

  • Secante: quando \( r\) e \( \lambda\) têm dois pontos em comum;


  • Tangente: a reta será tangente à circunferência se tiver um único ponto em comum


  • Exterior: neste caso, a reta \( r\) não tem nenhum ponto em comum com \( \lambda\)

.

Se uma reta \( r\) for secante a uma circunferência \( \lambda\) de centro \( O\) nos pontos \( A\) e \( B\) , de modo que ela não passe pelo centro, então temos que os segmentos \(\bar{OM}\) e \( \bar{AB}\) são perpendiculares entre si, onde \( M\) é o ponto médio da corda \( AB\) .


Chamamos de ponto de tangência aquele que é comum entre uma reta tangente e uma circunferência. O segmento \( \bar{OT}\) onde \( O\) e \( T\) são, respectivamente, o centro da circunferência e ponto de tangência é perpendicular a reta que tangencia.


Ângulos na circunferências

  • Um ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência:

            

            Neste caso, a sua medida é igual ao valor do seu arco correspondente.

            \( \theta=\stackrel \frown{AP}{AB}\)

  • Um ângulo inscrito possui o vértice num ponto da circunferência:

            

            A medida de um ângulo inscrito equivale a metade do comprimento do seu arco.

            \( \theta=\frac{\stackrel \frown{AB}}{2}\)

  • Um ângulo excêntrico interior é aquele cujo vértice é um ponto no interior da circunferência (diferente do centro):

            

Observe que um ângulo excêntrico interior determina dois arcos. A sua medida é igual a média aritmética das medidas dos arcos:

\(\theta=\frac{\stackrel \frown{AB}+\stackrel \frown{CD}}{2}\)

  • Um ângulo excêntrico exterior tem o vértice num ponto externo à circunferência:

            

            E sua medida é dada a partir dos dois arcos que ele determina:

\( \theta=\frac{\stackrel \frown{AB}-\stackrel \frown{CD}}{2}\)

Potência de ponto

Chamamos de potência de ponto \( P\) como o produto de todas as distâncias do ponto \( P\) aos pontos da circunferência que surgem da intersecção de uma reta que contém \( P\) e é tangente ou secante à circunferência dada.

Existem quatro casos de potência de ponto:

  • \( PA\cdot PB=PC\cdot PD\)


  • \( PA\cdot PB=PC\cdot PD\)


  • \( PT^{2}=PA\cdot PB\)


  • \( PA=PB\)


Círculo

A partir de um ponto fixado, um círculo é o conjunto de todos os pontos que tem a uma distância menor ou igual a uma distância dada.


Ou seja, podemos verificar que uma circunferência seria a apenas a fronteira da forma geométrica, enquanto que o círculo engloba a fronteira e também a região interior.

Do mesmo modo, o ponto fixado do círculo é chamado de centro e a distância dada, de raio.

Elementos de um círculo

Os elementos corda, diâmetro e arco de um círculo são aqueles respectivos à circunferência relacionada ao círculo em questão.

Além deles, também temos o setor circular \( AOB\) que é o conjunto de todos os pontos que estão na região interior do ângulo \( A\hat{O}B\) .


Um semicírculo é um setor circular no caso particular em que o ângulo \( A\hat{O}B\) vale 180º.

Dado um setor circular \( AOB\) ao traçarmos o segmento de reta que une os pontos \( A\) e \( B\) (ou seja, a corda \( AB\)) obtemos a seguinte região:


A tal região damos o nome de segmento circular \( AB\).

Área de um círculo

Se um círculo tiver raio \( r\) então a sua área é dada por

\( A=\pi\cdot r^{2}\)

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(PUC-SP) )

O pentágono \( ABCDE\) da figura seguinte está inscrito em um círculo de centro \( O\). O ângulo central \( C\hat{O}D\) mede 60º. Então \( x+y\) é igual a:

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