Chamamos de circunferência o conjunto de todos os pontos que equidistam, isto é, tem a mesma distância de um ponto fixado.
A essa distância damos o nome de raio \( r\) da circunferência. O ponto \( O\) fixado é chamado de centro da circunferência.
Elementos de uma circunferência
Uma corda é todo segmento de reta cujas extremidades são pontos da circunferência. Abaixo, temos a corda \( AB\) .
Um caso particular de uma corda é o diâmetro: além de ter extremos em pontos da circunferência, o diâmetro necessariamente passa pelo seu centro. Na figura a seguir \( CD\) é um diâmetro.
É evidente que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio
\( d =2r\)
Chamamos de arco de extremidades nos pontos \( A\) e \( B\) da circunferência (e denotamos por \(\stackrel \frown{AB}\) o conjunto de todos os pontos da circunferência que estão entre \( A\) e \( B\) .
Observe que é possível formar dois arcos com as mesmas extremidades. De modo geral, consideramos aquele que possui menor comprimento.
E um caso particular de arco é quando os seus extremos coincidem com as extremidades de um diâmetro. Quando isso acontecer, chamamos o arco de semicircunferência.
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Comprimento de uma circunferência
O comprimento (ou perímetro) de uma circunferência de raio \( r\) é dado por
\( C=2\pi r\)
onde \( \pi\) é um número irracional igual a aproximadamente 3,14.
Posições relativas entre reta e circunferência
Dada uma reta \( r\) e uma circunferência \( \lambda\) temos as seguintes posições relativas entre elas:
- Secante: quando \( r\) e \( \lambda\) têm dois pontos em comum;
- Tangente: a reta será tangente à circunferência se tiver um único ponto em comum
- Exterior: neste caso, a reta \( r\) não tem nenhum ponto em comum com \( \lambda\)
.
Se uma reta \( r\) for secante a uma circunferência \( \lambda\) de centro \( O\) nos pontos \( A\) e \( B\) , de modo que ela não passe pelo centro, então temos que os segmentos \(\bar{OM}\) e \( \bar{AB}\) são perpendiculares entre si, onde \( M\) é o ponto médio da corda \( AB\) .
Chamamos de ponto de tangência aquele que é comum entre uma reta tangente e uma circunferência. O segmento \( \bar{OT}\) onde \( O\) e \( T\) são, respectivamente, o centro da circunferência e ponto de tangência é perpendicular a reta que tangencia.
Ângulos na circunferências
- Um ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência:
Neste caso, a sua medida é igual ao valor do seu arco correspondente.
\( \theta=\stackrel \frown{AP}{AB}\)
- Um ângulo inscrito possui o vértice num ponto da circunferência:
A medida de um ângulo inscrito equivale a metade do comprimento do seu arco.
\( \theta=\frac{\stackrel \frown{AB}}{2}\)
- Um ângulo excêntrico interior é aquele cujo vértice é um ponto no interior da circunferência (diferente do centro):
Observe que um ângulo excêntrico interior determina dois arcos. A sua medida é igual a média aritmética das medidas dos arcos:
\(\theta=\frac{\stackrel \frown{AB}+\stackrel \frown{CD}}{2}\)
- Um ângulo excêntrico exterior tem o vértice num ponto externo à circunferência:
E sua medida é dada a partir dos dois arcos que ele determina:
\( \theta=\frac{\stackrel \frown{AB}-\stackrel \frown{CD}}{2}\)
Potência de ponto
Chamamos de potência de ponto \( P\) como o produto de todas as distâncias do ponto \( P\) aos pontos da circunferência que surgem da intersecção de uma reta que contém \( P\) e é tangente ou secante à circunferência dada.
Existem quatro casos de potência de ponto:
- \( PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
- \( PA\cdot PB=PC\cdot PD\)
- \( PT^{2}=PA\cdot PB\)
- \( PA=PB\)