O trapézio possui propriedades geométricas importantes, como a soma dos ângulos internos de 360° e a suplementaridade dos ângulos adjacentes aos lados não paralelos. Além disso, algumas variações, como o trapézio isósceles, apresentam características específicas, como diagonais congruentes e ângulos da base iguais.
Ângulos internos de um trapézio
Por se tratar de um quadrilátero convexo, então a soma dos ângulos internos de um trapézio é igual a 360º.
A^+B^+C^+D^=360º
Além disso, os ângulos adjacentes a um mesmo lado transverso, isto é, oblíquo, são suplementares entre si, ou seja:
A^+D^=B^+C^=180º
Trapézio isósceles
Um trapézio isósceles, como já dito, é aquele em que os lados transversais são congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida. Existem duas particularidades relacionadas ao trapézio isósceles que serão listadas adiante:
Os ângulos de ambas as bases são congruentes entre si:
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A^=B^C^=D^
Por consequência, dois ângulos opostos de um trapézio isósceles são suplementares, ou seja, a soma deles é igual a 180º.
A^+C^=B^+D^=180º
As diagonais são congruentes, isto é, possuem a mesma medida. Por exemplo:
Se em trapézio isósceles, como o ilustrado acima, o ângulo D^ medir 50º, então C^=50º. E, sendo A^ suplementar a D^, segue que
A^+D^=180º⇒A^+50º=180º⇒A^=130º
, portanto B^=130º.
Vale ressaltar que as duas propriedades acima só valem para trapézio isósceles e nada se pode afirmar quando se trata de trapézio retângulo ou de trapézio escaleno.
Teorema da base média de um trapézio
Consideremos um trapézio ABCD de bases AB¯e CD¯ conforme na figura a seguir.
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E tomemos M o ponto médio do lado AD¯ e N o ponto médio do lado BC¯.
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Ao traçarmos o segmento de reta MN¯, obtemos a chamada base média do trapézio: temos que MN¯ é paralelo à base menor e à base maior. E além disso, podemos determinar seu comprimento a partir das medidas das bases do trapézio:
MN=AB+CD2
Ou seja, a medida da base média do trapézio é igual à média aritmética das medidas das base menor e maior do trapézio.
Como exemplo, suponha que as bases AB e CD de um trapézio medem, respectivamente, 5cm e 7cm; então a base média MN medirá:
MN=AB+CD2=5+72=122⇒MN=6
Base média de um triângulo
Como consequência direta do teorema da base média de um trapézio, temos o equivalente em relação a um triângulo.
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Considerando um triângulo ABC e tomando-se M o ponto médio do lado $AB$ e N o ponto médio do lado $AC$, então o segmento MN¯ é paralelo ao lado BC¯ e a sua medida é igual à metade da medida do lado BC¯, ou seja:
MN=BC2