Trapézio isósceles, retângulo e escaleno: fórmulas e propriedades explicadas

Um trapézio é um quadrilátero com um par de lados opostos paralelos, chamados de bases. Ele está presente em diversas aplicações práticas, como engenharia e arquitetura, sendo um conceito essencial na geometria.

Na figura a seguir, temos o trapézio ABCD com os lados AB e CD paralelos entre si.

Elementos de um Trapézio

A tais lados paralelos, damos o nome de bases do trapézio. Na figura abaixo, o lado AB é a base menor, enquanto o lado CD é a base maior do trapézio.

A menor distância entre as bases é chamada de altura do trapézio. Os segmentos AD e BD são as diagonais do trapézio.

Além disso, os outros dois lados AD e BC são os lados oblíquos do trapézio.

De forma geral:

• Bases: Lados paralelos. A menor é a base menor, e a maior é a base maior.

• Altura: Distância perpendicular entre as bases.

• Lados oblíquos: Lados não paralelos.

• Diagonais: Segmentos que ligam vértices opostos.

Existem três maneiras de se classificar um trapézio:

Trapézio retângulo

Um trapézio retângulo é aquele que possui dois ângulos internos retos, ou seja, com medidas iguais a 90º.

Uma particularidade do trapézio retângulo se dá no fato de que um dos lados oblíquos coincide com a altura do trapézio. Na figura acima, tal particularidade ocorre no lado AD.

Exemplo: Se um trapézio tem bases de 6 cm e 10 cm, com um lado oblíquo igual à altura de 5 cm, sua área será:

A = (B + b) × h / 2

A = (10 + 6) × 5 / 2 = 40 cm²

Trapézio Isósceles

Um trapézio isósceles é aquele cujos lados oblíquos possuem o mesmo comprimento entre si, isto é, possuem a mesma medida. Além disso, as diagonais são congruentes.

Na figura acima, temos AD=BC.

Se um trapézio isósceles tem um dos ângulos da base medindo 50°, o outro também será 50°. Os ângulos opostos são 180° - 50° = 130°.

Trapézio escaleno

Um trapézio escaleno tem os quatro lados com medidas distintas.

Se um trapézio tem lados medindo 7 cm, 5 cm, 9 cm e 12 cm, seu perímetro será:

P = 7 + 5 + 9 + 12 = 33 cm

O trapézio possui propriedades geométricas importantes, como a soma dos ângulos internos de 360° e a suplementaridade dos ângulos adjacentes aos lados não paralelos. Além disso, algumas variações, como o trapézio isósceles, apresentam características específicas, como diagonais congruentes e ângulos da base iguais.

Ângulos internos de um trapézio

Por se tratar de um quadrilátero convexo, então a soma dos ângulos internos de um trapézio é igual a 360º.

A^+B^+C^+D^=360º

Além disso, os ângulos adjacentes a um mesmo lado transverso, isto é, oblíquo, são suplementares entre si, ou seja:

A^+D^=B^+C^=180º

Trapézio isósceles

Um trapézio isósceles, como já dito, é aquele em que os lados transversais são congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida. Existem duas particularidades relacionadas ao trapézio isósceles que serão listadas adiante:

Os ângulos de ambas as bases são congruentes entre si:

A^=B^C^=D^

Por consequência, dois ângulos opostos de um trapézio isósceles são suplementares, ou seja, a soma deles é igual a 180º.

A^+C^=B^+D^=180º

As diagonais são congruentes, isto é, possuem a mesma medida. Por exemplo:

Se em trapézio isósceles, como o ilustrado acima, o ângulo D^ medir 50º, então C^=50º. E, sendo A^ suplementar a D^, segue que

A^+D^=180º⇒A^+50º=180º⇒A^=130º

, portanto B^=130º.

Vale ressaltar  que as duas propriedades acima só valem para trapézio isósceles e nada se pode afirmar quando se trata de trapézio retângulo ou de trapézio escaleno.

Teorema da base média de um trapézio

Consideremos um trapézio ABCD de bases AB¯e CD¯ conforme na figura a seguir.

E tomemos M o ponto médio do lado AD¯ e N o ponto médio do lado BC¯.

Ao traçarmos o segmento de reta MN¯, obtemos a chamada base média do trapézio: temos que MN¯ é paralelo à base menor e à base maior. E além disso, podemos determinar seu comprimento a partir das medidas das bases do trapézio:

MN=AB+CD2

Ou seja, a medida da base média do trapézio é igual à média aritmética das medidas das base menor e maior do trapézio.

Como exemplo, suponha que as bases AB e CD de um trapézio medem, respectivamente, 5cm e 7cm; então a base média MN medirá:

MN=AB+CD2=5+72=122⇒MN=6

Base média de um triângulo

Como consequência direta do teorema da base média de um trapézio, temos o equivalente em relação a um triângulo.

Considerando um triângulo ABC e tomando-se M o ponto médio do lado $AB$ e N o ponto médio do lado $AC$, então o segmento MN¯ é paralelo ao lado BC¯ e a sua medida é igual à metade da medida do lado BC¯, ou seja:

MN=BC2

A área do trapézio é calculada pela fórmula:

A = (B + b) × h / 2

Exemplo: Um trapézio com bases de 10 cm e 8 cm e altura de 4 cm tem área igual a:

A = (10 + 8) × 4 / 2 = 36 cm²

Se B,b,h  forem, respectivamente, as medidas das base maior, menor e altura de um trapézio, então sua área é dada por:

A=(B+b)⋅h2

Ao tomarmos, por exemplo, um trapézio cujas bases medem 10cm e 8cm, e com altura igual a 4cm, então sua área é dada por:

A=(10+8)⋅42=18⋅42=722⇒A=36cm2

Fórmula do Perímetro do Trapézio

O perímetro do trapézio é a soma de todos os seus lados:

P = B + b + L1 + L2

Exemplo: Se os lados do trapézio medem 12 cm, 8 cm, 5 cm e 7 cm, o perímetro será:

P = 12 + 8 + 5 + 7 = 32 cm

Mediana de Euler no Trapézio

A mediana de Euler é a distância entre os pontos médios dos lados oblíquos do trapézio. Sua fórmula é:

mE = (B - b) / 2

Exemplo: Para um trapézio com bases de 10 cm e 6 cm:

mE = (10 - 6) / 2 = 2 cm