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Matemática

Trapézio

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 22/10/2018

Introdução

Um trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos. Na figura a seguir, temos o trapézio \( ABCD\) com os lados \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) paralelos entre si.

Elementos de um trapézio

A tais lados paralelos, damos o nome de bases do trapézio. Na figura abaixo, o lado \( \bar{AB}\) é a base menor, enquanto o lado \( \bar{CD}\) é a base maior do trapézio.

A menor distância entre as bases é chamada de altura do trapézio.

Os segmentos \( \bar{AD}\) e \( \bar{BD}\) são as diagonais do trapézio.

Além disso, os outros dois lados \( \bar{AD}\) e \( \bar{BC}\) são os lados oblíquos do trapézio.

Classificações de um trapézio

Existem três maneiras de se classificar um trapézio:

  • Um trapézio retângulo é aquele que possui dois ângulos internos retos, ou seja, com medidas iguais a 90º.

Uma particularidade do trapézio retângulo se dá no fato de que um dos lados oblíquos coincide com a altura do trapézio. Na figura acima, tal particularidade ocorre no lado \( \bar{AD}\)

  • Um trapézio isósceles é aquele cujos lados oblíquos são congruentes entre si, isto é, possuem a mesma medida.

Na figura acima, temos \( AD=BC\).

  • Um trapézio escaleno tem os quatro lados com medidas distintas.

Propriedades de um trapézio

Ângulos internos de um trapézio

Por ser tratar de um quadrilátero convexo, então a soma dos ângulos internos de um trapézio é igual a 360º.

$$ \hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360º$$

Além disso, os ângulos adjacentes a um mesmo lado transverso, isto é, oblíquo, são suplementares entre si, ou seja:

$$ \hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180º$$

Trapézio isósceles

Um trapézio isósceles, como já dito, é aquele em que os lados transversais são congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida. Existem duas particularidades relacionadas ao trapézio isósceles que serão listadas adiante:

  • Os ângulos de ambas as bases são congruentes entre si:

$$ \hat{A}=\hat{B}\quad\hat{C}=\hat{D}$$

Por consequência, dois ângulos opostos de um trapézio isósceles são suplementares, ou seja, a soma deles é igual a 180º.

$$ \hat{A}+\hat{C}=\hat{B}+\hat{D}=180º$$

  • As diagonais são congruentes, isto é, possuem a mesma medida. Por exemplo:

Se num trapézio isósceles, como o ilustrado acima, o ângulo \(\hat{D}\) medir 50º, então \(\hat{C}=50º\). E, sendo \(\hat{A}\) suplementar a \(\hat{D}\), segue que
 $$\hat{A}+\hat{D}=180º\Rightarrow\hat{A}+50º=180º\Rightarrow\hat{A}=130º$$, portanto \(\hat{B}=130º\).

Vale ressaltar  que as duas propriedades acima só valem para trapézio isósceles e nada se pode afirmar quando se trata de trapézio retângulo ou de trapézio escaleno.

Teorema da base média de um trapézio

Consideremos um trapézio \( ABCD\) de bases \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) conforme na figura a seguir.

E tomemos \( M\) o ponto médio do lado \( \bar{AD}\) e \( N\) o ponto médio do lado \( \bar{BC}\).

Ao traçarmos o segmento de reta \( \bar{MN}\), obtemos a chamada base média do trapézio: temos que \( \bar{MN}\) é paralelo à base menor e à base maior. E além disso, podemos determinar seu comprimento a partir das medidas das bases do trapézio:

$$ MN=\frac{AB+CD}{2}$$

Ou seja, a medida da base média do trapézioé igual à média aritmética das medidas das base menor e maior do trapézio.

Como exemplo, suponha que as bases \(AB\) e \(CD\) de um trapézio medem, respectivamente, 5cm e 7cm; então a base média \(MN\) medirá:

$$MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}\Rightarrow MN=6$$

Base média de um triângulo

Como consequência direta do teorema da base média de um trapézio, temos o equivalente em relação a um triângulo.

Considerando um triângulo \( ABC\) e tomando-se \( M\) o ponto médio do lado $AB$ e \( N\) o ponto médio do lado $AC$, então o segmento \( \bar{MN}\) é paralelo ao lado \( \bar{BC}\) e a sua medida é igual à metade da medida do lado \( \bar{BC}\), ou seja:

$$ MN=\frac{BC}{2}$$

Área de um trapézio

Se \( B, b, h\) forem, respectivamente, as medidas das base maior, menor e altura de um trapézio, então sua área é dada por:

$$ A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$$

Ao tomarmos, por exemplo, um trapézio cujas bases medem 10cm e 8cm, e com altura igual a 4cm, então sua área é dada por:


 $$A=\frac{(10+8)\cdot4}{2}=\frac{18\cdot4}{2}=\frac{72}{2}\Rightarrow A=36cm^{2}$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(CESGRANRIO)

Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 35. O maior ângulo desse polígono mede:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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