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Matemática

Polígonos

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 18/10/2018

Introdução

Um polígono é uma figura geométrica formada por linhas poligonais que são segmentos de retas que não se cruzam e que se unem a partir de seus extremos.

Podemos classificar um polígono como convexo ou côncavo (não-convexo). Observe os polígonos a seguir.

exemplo de um polígono convexo e outro côncavo.

No polígono \(ABCDEF\) note que, tomando dois pontos distintos na região interior do polígono e traçando um segmento de reta que os une, é possível observar que tal segmento se encontra totalmente no interior do polígono:

Assim, dizemos que o polígono \(ABCDEF\) é convexo.

Agora, considerando o polígono \(GHIJK\), note que o mesmo não ocorre caso tomemos os dois pontos ilustrados abaixo e os unimos via um segmento de reta.

Linha começa e termina sem sair de dentro do polígono.Linha começa e termina sem sair de dentro do polígono.

É fácil ver que tal segmento não se encontra completamente na região interior do polígono. Deste modo, o polígono \(GHIJK\) é dito ser côncavo.

Linha sai e volta para o polígono.Linha sai e volta para o polígono.

No nosso estudo, trabalharemos apenas com polígonos convexos.

Nomenclatura

Um polígono pode ser classificado através do seu número de lados \(n\) É evidente que o menor número de lados de um polígono é três.

A tabela a seguir dá os nomes dos polígonos de acordo com a quantidade de lados que ele possui.

Número de ladosNome
3Triângulo
4Quadrilátero
5Pentágono
6Hexágono
7Heptágono
8Octógono
9Eneágono
10Decágono
11Undecágono
12Dodecágono
15Pentadecágono
20Icoságono

Elementos de um polígono

Dado o polígono abaixo \(ABCDEF\) temos que

os vértices são os pontos \(A,B,C,D,E\) e \(F\). Os lados do polígono são os segmentos de reta que unem dois vértices consecutivos; neste caso:\( \bar{AB},\bar{BC},\bar{CD},\bar{DE},\bar{EF}\) e \(\bar{AF}\).


As diagonais de um polígono são os segmentos de reta com extremidades em dois vértices não consecutivos. No nosso exemplo, as diagonais são:\(\bar{AC},\bar{AD},\bar{AE},\bar{BD},\bar{BE},\bar{BF},\bar{CE},\bar{CF}\) e \(\bar{DF}\).

Polígono

Os ângulos internos do polígono são aqueles indicados na figura abaixo:


PolígonoÂngulos internos.

E os ângulos externos são os que se formam ao se prolongar um de seus lados:

PolígonoÂngulos externos

Propriedades dos polígonos

Número de diagonais

O número de diagonais de um polígono pode ser calculado através do seu número de lados. Indicando por \(d\) a quantidade de diagonais que um polígono tem e sendo \(n\) o seu número de lados, então:

$$ d=\frac{n(n-3)}{2}$$

Essa fórmula vem da Análise Combinatória. É o número de segmentos que podemos fazer entre 2 vértices, tirando a quantidade de lados do polígono.

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono também depende do seu número de lados. Se \(S_{i}\) for essa soma e \(n\), o número de lados, então:

$$ S_{i}=(n-2)\cdot180º$$

Pra todo polígono, podemos gerar \(n-2\) triângulos dentro dele. A soma de cada um desses triângulos é 180º, e assim chegamos na fórmula.

Soma dos ângulos externos

Já a soma dos ângulos externos de um polígono, indicada por \(S_{e}\) independe do número de lados, pois seu valor invaria, não importa qual polígono seja. Temos que

$$ S_{e}=360º$$

Cada ângulo externo vale 180º menos o valor do ângulo interno. Assim, usando a fórmula da soma dos ângulos internos, podemos chegar na fórmula da soma dos ângulos externos.

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele em que os seus lados são congruentes entre si, ou seja, todos têm a mesma medida. Por consequência, as medidas dos seus ângulos internos e externos também são iguais entre si.

Ângulo interno de um polígono regular

Como todo ângulo interno de um polígono regular possui a mesma medida, então é possível calcular o seu valor. Denotando por \(a_{i}\) a medida de um ângulo interno de um polígono regular, temos que

$$ a_{i}=\frac{S_{i}}{n}$$

onde \(n\) indica o número de lados do polígono.

Ângulo externo de um polígono regular

Do mesmo modo, se \(a_{e}\) for a medida de um ângulo externo de um polígono regular de \(n\) lados, então

$$ a_{e}=\frac{S_{e}}{n}=\frac{360º}{n}$$

Polígono inscritível

É possível mostrar que todo polígono regular é inscritível a uma circunferência, ou seja, podemos traçar uma circunferência de tal modo que os vértices do polígono sejam pontos dela.

Polígono inscritível.Polígono inscritível.

Polígono circunscritível

Da mesma maneira, todo polígono regular é circunscritível, isto é, podemos traçar uma circunferência de modo que ela seja tangente a todos os lados do polígono.

Poligono circunscritível.Poligono circunscritível.

Chamamos de apótema de um polígono regular o raio da circunferência inscrita no polígono.

a reta a representa o apótema do polígono.a reta representa o apótema do polígono.

Área de um polígono

Polígono circunscrito

Caso um polígono seja circunscrito a uma circunferência de raio com medida igual a \(r\), então a sua área é

$$A=p\cdot r$$

onde \(p\) é o seu semiperímetro, ou seja, a metade da soma de todos os seus lados.

Polígono regular

Como o raio de uma circunferência circunscrita a um polígono é chamado de apótema do polígono, então a fórmula acima pode ser reescrita como

$$A=p\cdot a$$

Um caso particular de polígono regular é o hexágono regular, cuja área é dada em função da medida \(\ell\) do seu lado:

$$A=\frac{3\ell^{2}\sqrt{3}}{2}$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(UFSCAR)

Um polígono convexo com exatamente 35 diagonais tem:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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