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Polígonos

Matemática - Manual do Enem
Marcus Vinicius Publicado por Marcus Vinicius
 -  Última atualização: 28/7/2022

Introdução

Um polígono é uma figura geométrica formada por linhas poligonais que são segmentos de retas que não se cruzam e que se unem a partir de seus extremos.

Índice

Como classificar um polígono?

Podemos classificar um polígono como convexo ou côncavo (não convexo).

Observe os polígonos a seguir:

exemplo de um polígono convexo e outro côncavo.

No polígono \(ABCDEF\) note que, tomando dois pontos distintos na região interior do polígono e traçando um segmento de reta que os une, é possível observar que tal segmento se encontra totalmente no interior do polígono:

Assim, dizemos que o polígono \(ABCDEF\) é convexo.

Linha começa e termina sem sair de dentro do polígono.Linha começa e termina sem sair de dentro do polígono.

Agora, considerando o polígono \(GHIJK\), note que o mesmo não ocorre caso tomemos os dois pontos ilustrados abaixo e os unimos via um segmento de reta.

É fácil ver que tal segmento não se encontra completamente na região interior do polígono. Deste modo, o polígono \(GHIJK\) é dito ser côncavo.

Linha sai e volta para o polígono.Linha sai e volta para o polígono.

No nosso estudo, trabalharemos apenas com polígonos convexos.

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Quais são os tipos de polígonos?

Um polígono pode ser classificado através do seu número de lados \(n\) É evidente que o menor número de lados de um polígono é três.

A tabela a seguir dá os nomes dos polígonos de acordo com a quantidade de lados que ele possui.

Número de lados Nome
3 Triângulo
4 Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono

Quais são os elementos de um polígono?

Dado o polígono abaixo \(ABCDEF\) temos que:

  • os vértices são os pontos \(A,B,C,D,E\) e \(F\)
  • os lados do polígono são os segmentos de reta que unem dois vértices consecutivos; neste caso:\( \bar{AB},\bar{BC},\bar{CD},\bar{DE},\bar{EF}\) e \(\bar{AF}\).


  • as diagonais de um polígono são os segmentos de reta com extremidades em dois vértices não consecutivos. No nosso exemplo, as diagonais são:\(\bar{AC},\bar{AD},\bar{AE},\bar{BD},\bar{BE},\bar{BF},\bar{CE},\bar{CF}\) e \(\bar{DF}\).

Polígono

  • os ângulos internos do polígono são aqueles indicados na figura abaixo:


PolígonoÂngulos internos.

  • os ângulos externos são os que se formam ao se prolongar um de seus lados:

PolígonoÂngulos externos

Propriedades dos polígonos

Confira a seguir as principais propriedades de um polígono.

Número de diagonais

O número de diagonais de um polígono pode ser calculado através do seu número de lados. Indicando por \(d\) a quantidade de diagonais que um polígono tem e sendo \(n\) o seu número de lados, então:

$$ d=\frac{n(n-3)}{2}$$

Essa fórmula vem da Análise Combinatória. É o número de segmentos que podemos fazer entre 2 vértices, tirando a quantidade de lados do polígono.

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono também depende do seu número de lados. Se \(S_{i}\) for essa soma e \(n\), o número de lados, então:

$$ S_{i}=(n-2)\cdot180º$$

Pra todo polígono, podemos gerar \(n-2\) triângulos dentro dele. A soma de cada um desses triângulos é 180º, e assim chegamos na fórmula.

Soma dos ângulos externos

Já a soma dos ângulos externos de um polígono, indicada por \(S_{e}\) independe do número de lados, pois seu valor é invariável, não importa qual polígono seja. Temos que

$$ S_{e}=360º$$

Cada ângulo externo vale 180º menos o valor do ângulo interno. Assim, usando a fórmula da soma dos ângulos internos, podemos chegar na fórmula da soma dos ângulos externos.

O que é um polígono regular?

Um polígono regular é aquele em que os seus lados são congruentes entre si, ou seja, todos têm a mesma medida. Por consequência, as medidas dos seus ângulos internos e externos também são iguais entre si.

Ângulo interno de um polígono regular

Como todo ângulo interno de um polígono regular possui a mesma medida, então é possível calcular o seu valor. Denotando por \(a_{i}\) a medida de um ângulo interno de um polígono regular, temos que

$$ a_{i}=\frac{S_{i}}{n}$$

onde \(n\) indica o número de lados do polígono.

Ângulo externo de um polígono regular

Do mesmo modo, se \(a_{e}\) for a medida de um ângulo externo de um polígono regular de \(n\) lados, então

$$ a_{e}=\frac{S_{e}}{n}=\frac{360º}{n}$$

O que é um polígono inscritível?

É possível mostrar que todo polígono regular é inscritível a uma circunferência, ou seja, podemos traçar uma circunferência de tal modo que os vértices do polígono sejam pontos dela.

Polígono inscritível.Polígono inscritível.

O que é um polígono circunscritível?

Da mesma maneira, todo polígono regular é circunscritível, isto é, podemos traçar uma circunferência de modo que ela seja tangente a todos os lados do polígono.

Poligono circunscritível.Poligono circunscritível.

Chamamos de apótema de um polígono regular o raio da circunferência inscrita no polígono.

a reta a representa o apótema do polígono.a reta representa o apótema do polígono.

Como calcular a área de um polígono?

Confira como calcular a área de polígonos circunscritos e regulares.

Polígono circunscrito

Caso um polígono seja circunscrito a uma circunferência de raio com medida igual a \(r\), então a sua área é

$$A=p\cdot r$$

onde \(p\) é o seu semiperímetro, ou seja, a metade da soma de todos os seus lados.

Polígono regular

Como o raio de uma circunferência circunscrita a um polígono é chamado de apótema do polígono, então a fórmula acima pode ser reescrita como

$$A=p\cdot a$$

Um caso particular de polígono regular é o hexágono regular, cuja área é dada em função da medida \(\ell\) do seu lado:

$$A=\frac{3\ell^{2}\sqrt{3}}{2}$$

Fórmulas para polígonos

Exercício de fixação
Passo 1 de 3
UFSCAR

Um polígono convexo com exatamente 35 diagonais tem:

A 6 lados
B 9 lados
C 10 lados
D 12 lados
E 20 lados
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