Um polígono é uma figura geométrica formada por linhas poligonais que são segmentos de retas que não se cruzam e que se unem a partir de seus extremos.
Um polígono é uma figura geométrica formada por linhas poligonais que são segmentos de retas que não se cruzam e que se unem a partir de seus extremos.
Podemos classificar um polígono como convexo ou côncavo (não convexo).
Observe os polígonos a seguir:
No polígono \(ABCDEF\) note que, tomando dois pontos distintos na região interior do polígono e traçando um segmento de reta que os une, é possível observar que tal segmento se encontra totalmente no interior do polígono:
Assim, dizemos que o polígono \(ABCDEF\) é convexo.
Agora, considerando o polígono \(GHIJK\), note que o mesmo não ocorre caso tomemos os dois pontos ilustrados abaixo e os unimos via um segmento de reta.
É fácil ver que tal segmento não se encontra completamente na região interior do polígono. Deste modo, o polígono \(GHIJK\) é dito ser côncavo.
No nosso estudo, trabalharemos apenas com polígonos convexos.
📚 Você vai prestar o Enem? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚
Um polígono pode ser classificado através do seu número de lados \(n\) É evidente que o menor número de lados de um polígono é três.
A tabela a seguir dá os nomes dos polígonos de acordo com a quantidade de lados que ele possui.
Número de lados | Nome |
3 | Triângulo |
4 | Quadrilátero |
5 | Pentágono |
6 | Hexágono |
7 | Heptágono |
8 | Octógono |
9 | Eneágono |
10 | Decágono |
11 | Undecágono |
12 | Dodecágono |
15 | Pentadecágono |
20 | Icoságono |
Dado o polígono abaixo \(ABCDEF\) temos que:
Confira a seguir as principais propriedades de um polígono.
O número de diagonais de um polígono pode ser calculado através do seu número de lados. Indicando por \(d\) a quantidade de diagonais que um polígono tem e sendo \(n\) o seu número de lados, então:
$$ d=\frac{n(n-3)}{2}$$
Essa fórmula vem da Análise Combinatória. É o número de segmentos que podemos fazer entre 2 vértices, tirando a quantidade de lados do polígono.
A soma dos ângulos internos de um polígono também depende do seu número de lados. Se \(S_{i}\) for essa soma e \(n\), o número de lados, então:
$$ S_{i}=(n-2)\cdot180º$$
Pra todo polígono, podemos gerar \(n-2\) triângulos dentro dele. A soma de cada um desses triângulos é 180º, e assim chegamos na fórmula.
Já a soma dos ângulos externos de um polígono, indicada por \(S_{e}\) independe do número de lados, pois seu valor é invariável, não importa qual polígono seja. Temos que
$$ S_{e}=360º$$
Cada ângulo externo vale 180º menos o valor do ângulo interno. Assim, usando a fórmula da soma dos ângulos internos, podemos chegar na fórmula da soma dos ângulos externos.
Um polígono regular é aquele em que os seus lados são congruentes entre si, ou seja, todos têm a mesma medida. Por consequência, as medidas dos seus ângulos internos e externos também são iguais entre si.
Como todo ângulo interno de um polígono regular possui a mesma medida, então é possível calcular o seu valor. Denotando por \(a_{i}\) a medida de um ângulo interno de um polígono regular, temos que
$$ a_{i}=\frac{S_{i}}{n}$$
onde \(n\) indica o número de lados do polígono.
Do mesmo modo, se \(a_{e}\) for a medida de um ângulo externo de um polígono regular de \(n\) lados, então
$$ a_{e}=\frac{S_{e}}{n}=\frac{360º}{n}$$
É possível mostrar que todo polígono regular é inscritível a uma circunferência, ou seja, podemos traçar uma circunferência de tal modo que os vértices do polígono sejam pontos dela.
Da mesma maneira, todo polígono regular é circunscritível, isto é, podemos traçar uma circunferência de modo que ela seja tangente a todos os lados do polígono.
Chamamos de apótema de um polígono regular o raio da circunferência inscrita no polígono.
Confira como calcular a área de polígonos circunscritos e regulares.
Caso um polígono seja circunscrito a uma circunferência de raio com medida igual a \(r\), então a sua área é
$$A=p\cdot r$$
onde \(p\) é o seu semiperímetro, ou seja, a metade da soma de todos os seus lados.
Como o raio de uma circunferência circunscrita a um polígono é chamado de apótema do polígono, então a fórmula acima pode ser reescrita como
$$A=p\cdot a$$
Um caso particular de polígono regular é o hexágono regular, cuja área é dada em função da medida \(\ell\) do seu lado:
$$A=\frac{3\ell^{2}\sqrt{3}}{2}$$
Um polígono convexo com exatamente 35 diagonais tem: