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Matemática

Figuras geométricas

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 22/5/2019

Introdução

As figuras geométricas são elementos com formas, tamanhos e dimensões no plano ou espaço. Por exemplo, o triângulo, o quadrado, a pirâmide e a esfera são figuras geométricas. Na matemática, estes elementos são estudados no ramo da geometria

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Figuras geométricas em 2 dimensões (planas).

Figuras geométricas em 3 dimensões.

Figuras geométricas planas

São definidas por possuírem duas dimensões (como mostra a figura 1): comprimento e largura.

Quando temos uma figura geométrica composta por segmentos de retas onde o ponto inicial coincide com o final, chamamos essa figura de polígono.

Exemplos de polígonos.

Nesse sentido, quando temos uma figura geométrica que se “entrelaça”, nós a chamamos de polígono entrelaçado (como é o caso do primeiro polígono da figura 3!). Para os polígonos não entrelaçados, podemos dividi-los em côncavos e convexos. Observe a figura abaixo.

Polígonos côncavo e convexo.

Definimos que um polígono é côncavo quando é possível traçar um segmento de reta tal que ele comece e termine dentro do polígono, mas parte dele passa por fora da figura. Caso isso não seja possível, o polígono é convexo.

Além disso, um polígono convexo pode ser classificado como regular. Um polígono é regular quando ele for equilátero (possuir os lados iguais) e equiângulo (possuir os ângulos iguais).

Exemplo de um hexágono (polígono de 6 lados) regular.

Nomenclatura de polígonos

Denominamos os polígonos de acordo com o número de lados que ele possui. A tabela abaixo mostra alguns exemplos.

Número de ladosDenominação
3Triângulo
4Quadrilátero
5Pentágono
6Hexágono
7Heptágono
8Octógono
9Eneágono
10Decágono
11Undecágono
12Dodecágono
13Tridecágono
20Icoságono

Figuras geométricas em 3 dimensões

Essas figuras, mais conhecidas como sólidos geométricos, possuem 3 dimensões: comprimento, largura e altura. Podemos dividi-las em poliedros e não poliedros.

Um poliedro é um sólido geométrico composto apenas por superfícies planas, enquanto um não poliedro é aquele composto por pelo menos alguma superfície curva.

Exemplos de não poliedros.

Exemplos de poliedros.

Podemos classificar os poliedros em côncavos ou convexos, de forma semelhante aos polígonos. Um poliedro é côncavo quando algum segmento de reta que une duas faces do sólido não estiver inteiramente contido neste sólido, como é o caso da figura 8, abaixo.

Exemplo de poliedro côncavo.

Exemplo de poliedro convexo.

Poliedro convexo

Os poliedros convexos são compostos pelas faces, arestas e vértices. As faces são os polígonos (os “lados” do poliedro), as arestas são os lados do polígono e os vértices são os vértices do polígono. Observe a figura 10.

Elementos do poliedro convexo.

O vértice é o ponto em verde, a aresta é o segmento de reta em azul e a face é o elemento em amarelo.

Os poliedros convexos podem ser regulares. Eles o são quando possuem ângulos poliédricos iguais e suas faces laterais são polígonos regulares congruentes.

Outro aspecto interessante dos poliedros convexos é que eles possuem algumas relações que auxiliam na hora da resolução de exercícios. Segundo o teorema de Euler, temos que (sendo F o número de faces, A o número de arestas e V o número de vértices):

\(V-A+F=2\)

Além dessa relação, é importante saber também que a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo qualquer com número de vértices V é:

\(S=360^{\circ}(V-2)\)

Exemplo 1) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares.

Solução: sabemos que o número de faces é igual a 12. Em relação a aresta, cada uma pertence a dois triângulos simultaneamente, Então se calcularmos 12 vezes 3, estaremos contando as arestas duas vezes. Portanto:

\(12\cdot 3=2A\rightarrow A=18\)

Assim, utilizando o teorema de Euler, temos:

\(V-A+F=2\rightarrow V=2-12+18\rightarrow V=8\)

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(ENEM/2016)

Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2.


Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números de faces, arestas e vértices são, respectivamente, iguais a

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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