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Matemática

Cubos e volumes

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 17/7/2019

Introdução

Questões referentes a sólidos (figuras geométricas espaciais) costumam ser extensivamente cobradas em provas e vestibulares. Assim, é de grande importância que conteúdos como cubos, prismas, pirâmides, cilindros, cones e suas características sejam aprendidos!

Figura 1 - Exemplos de sólidos. Da esquerda para a direita: cone, cubo e prisma.

Vamos estudar cada sólido separado e aprender a calcular seus volumes!

Prisma

O prisma é formado a partir de um polígono qualquer, que será a sua base, com uma altura. A figura 2 apresenta alguns tipos deste sólido.

Figura 2 - Exemplos de prismas. Da esquerda para a direita: prisma hexagonal, prisma quadrangular, prisma triangular.

Assim, perceba que podemos ter prismas de diversos tipos, variando em função do polígono da base deste sólido. Nesse sentido, a fórmula geral para o cálculo do volume do prisma é:

\(V=\textbf{\'area da base}\cdot \textbf{altura}\)

Note que a área da base varia conforme o tipo de polígono que forma o prisma! Portanto, se estamos trabalhando com um prisma hexagonal, devemos determinar a área do hexágono do prisma e multiplicar pela sua altura, ok?

Caso especial: paralelepípedo reto-retângulo e cubo

O paralelepípedo reto-retângulo é um nome especial para o prisma quadrangular reto de base regular.

Lembre-se! Prismas retos são aqueles quando a face lateral for um retângulo, portanto, as arestas laterais são iguais a altura deste prisma. Já prismas regulares são prismas retos cujas bases são polígonos regulares.

Figura 3 - Paralelepípedo reto-retângulo de base regular.

O volume deste sólido é dado por:

\(V=a\cdot b\cdot c\)

Exemplo 1) Determine o volume do paralelepípedo reto-retângulo a seguir. As medidas estão em centímetros.

Resolução:

Temos que: \(V=5\cdot 4\cdot 3=60 \ cm^{3}\)

O cubo, por sua vez, é um paralelepípedo reto-retângulo em que todas as arestas são iguais, ou seja, a=b=c. Assim, seu volume é dado por:

\(V=a\cdot b\cdot c\Rightarrow V=a\cdot a\cdot a\Rightarrow V=a^{3}\)

Exemplo 2) Calcule o volume do cubo a seguir. As medidas estão em centímetros.

Resolução: \(V=a^{3}=3,5^{3}=42,875 \ cm^{3}\)

Pirâmide

Pirâmides são sólidos formados por um polígono, que serve como base, e pela junção dos vértices desse polígono, gerando uma altura para a pirâmide.

Figura 4 - Exemplos de pirâmides. Da esquerda para a direita: pirâmides pentagonal, triangular, quadrangular.

Figura 5 - Pirâmide com topo fora do centro do polígono

O cálculo do volume de qualquer pirâmide é feito através de :

\(V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\)

Sendo que:

  • \(A_{b}\) = Área da base
  • h = altura

Cilindro

Um cilindro pode ser considerado como um prisma cuja base é um círculo, observe.

Figura 6 - Exemplo de cilindro

O volume deste sólido é obtido por:

\(V=A_{b}\cdot h\)

Como a base é um círculo e a área do círculo é \(A_{b}=\pi \cdot r^{2}\), temos:

\(V=\pi \cdot r^{2}\cdot h\)

Cone

De forma semelhante ao cilindro, o cone pode ser considerado como uma pirâmide cuja base é um círculo.

Figura 7 - Exemplos de cones

Nos dois casos mostrados na figura 7, o volume do cone é dado por:

\(V=\frac{A_{b}\cdot h}{3}\)

Porém, como a base é um círculo, temos que o volume pode ser calculado por:

\(V=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}\)

Esfera

Por fim, no caso da esfera, o seu volume é calculado através da fórmula abaixo:

\(V=\frac{4\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}\)

Figura 8 - Esfera

Conclusão e dicas

Agora que vimos os volumes dos principais sólidos, perceba que as fórmulas são bem parecidas entre si, envolvendo sempre a área da base e altura (exceto no caso da esfera). São fórmulas fáceis de decorar e também de entender! Assim, este é um conteúdo tranquilo em que você pode garantir algumas questões sem complicação na prova, beleza?

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(VUNESP)

Quantos cubos A precisa-se empilhar para formar o paralelepípedo B?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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