Paralelepípedo: veja o que é, volume, área e diagonal

Os paralelepípedos são formas geométricas tridimensionais comuns na vida cotidiana. Eles são fundamentais na construção e arquitetura, formando a base de muitos edifícios e blocos de construção. Em móveis e design de interiores, mesas, armários e estantes frequentemente têm essa forma.

As embalagens, especialmente caixas de papelão, utilizam o paralelepípedo para eficiência no armazenamento e transporte. Livros e cadernos fechados também são exemplos típicos. No mundo da tecnologia, dispositivos como telefones e laptops adotam essa forma para otimizar o espaço.

Além disso, jogos e brinquedos, como blocos de montar, e os contêineres de transporte, essenciais no comércio global, exemplificam a utilidade prática dos paralelepípedos.

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Um paralelepípedo é um prisma cujas faces são paralelogramos. Há dois tipos de paralelepípedos:

• Os oblíquos:

• E os retos:

Ou seja, aqueles cujas faces laterais são retângulos.

Em geral, estudamos os paralelepípedos retos (também chamados de paralelepípedos reto-retângulos quando as bases são retangulares).

Quantas faces tem um paralelepípedo?

Todo paralelepípedo possui 6 faces quadrangulares. É possível que essas faces sejam paralelogramos ou retângulos, dependendo se estamos trabalhando com um paralelepípedo oblíquo ou reto.

Como descobrir o número de arestas?

Para descobrir o número de arestas de um paralelepípedo, basta observar que há um total de 6 faces quadrangulares e fazer (6 x 4) : 2 = 12. Uma vez que cada aresta sempre é compartilhada por duas faces.

Diagonal de um paralelepípedo

A diagonal de um paralelepípedo é o segmento de reta que une dois vértices opostos, de modo que eles estejam em faces diferentes. Na figura abaixo, D é uma diagonal do paralelepípedo.

Se as dimensões do paralelepípedo, isto é, se seu comprimento, largura e altura medirem a, b e c, então sua diagonal é dada por:

D = √a2+b2+c2

Por exemplo, se as dimensões forem 2cm, 1cm e 3cm, então temos que:

D=√22+12+32=√14 cm

A fórmula da diagonal do paralelepípedo é uma consequência direta do Teorema de Pitágoras.

Chamando a diagonal da base de x, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para expressá-la em função de a e b, uma vez que forma-se um triângulo retângulo:

x² = a² + b²

Analisando o outro triângulo retângulo formado tendo a diagonal da base (x) e a altura do paralelepípedo (c) como catetos e a diagonal do pararalepípedo (D) como hipotenusa, temos:

D² = x² + c²

Substituindo o valor de x² encontrado anteriormente, chegamos em:

D² = a² + b² + c²

Ou seja,

D=a²+b²+c².

Área de um paralelepípedo

A área total de um paralelepípedo é a soma das áreas de todas as suas faces. Mas note que sempre há duas faces iguais (a de cima com a de baixo, a da direita com a da esquerda, e a da frente com a de trás). 

Portanto, como a área de um retângulo é base vezes altura, se as dimensões de um paralelepípedo forem a, b e c, então sua área total é dada por:

At = 2 ⋅ (ab + ac + bc)

Suponha assim que tenhamos um paralelepípedo de comprimento 5 cm, largura 2 cm e altura igual a 3 cm, então temos que a = 5, b = 2 e c = 3. Logo, sua área total valerá:

At = 2 ⋅ (5⋅2 + 5⋅3 + 2⋅3) ⇒ At = 72cm2

Podemos também imaginar a planificação de um paralelepípedo para entender melhor como chegamos nesta fórmula.

Imaginando como uma “caixa aberta”, temos 6 retângulos, iguais 2 a 2, ou seja:

At = ab + ab + ac + ac + bc + bc

At = 2 . (ab + ac + bc).

Quantas vértices tem um paralelepípedo?

Um paralelepípedo tem oito vértices. Estes são os pontos onde se encontram três arestas do sólido.

Quantos lados tem um paralelepípedo?

Um paralelepípedo tem seis lados. Cada lado é um retângulo, e eles estão dispostos de forma que o paralelepípedo tenha três pares de lados paralelos e iguais entre si.

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Volume de um paralelepípedo

Como um paralelepípedo é, antes de tudo, um prisma, então seu volume é o produto da área da base pela altura.

Se seu comprimento medir a, sua largura b, então sua área da base será:

Ab = a⋅b

E sendo c a medida de sua altura, segue que seu volume é dado pela expressão:

V = a⋅b⋅c

Ou seja, o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas dimensões.

Como exemplo, o volume do paralelepípedo abaixo é

V = 4 ⋅ 3 ⋅ √2 ⇒ V = 12√2 cm3

Vários problemas que envolvem o volume de um paralelepípedo relacionam as unidades de medida de volume com as de capacidade. É importante saber as conversões mais recorrentes como:

1 m³ = 1000 litros

1 dm³ = 1 litro

1 cm³ = 1 mililitro

Exemplo:

Qual a capacidade de uma caixa d’água no formato de paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões são 2 metros de comprimento, 1,5 metro de largura e 80 centímetros de altura?

Resolução:

Primeiramente, podemos escrever todas as informações dadas no enunciado na mesma unidade. Escolheremos o metro:

Comprimento: 2 m

Largura: 1,5 m

Altura: 0,8 m

Calculando o volume, temos:

V = 2 x 1,5 x 0,8 = 2,4 m³

Como 1 m³ equivale a 1000 litros, temos que 2,4 x 1000 = 2400 litros.

Há dois tipos de paralelepípedos: os paralelepípedos oblíquos e os paralelepípedos retos.

Paralelepípedos Oblíquos   

As faces deste tipo de paralelepípedo são formadas por paralelogramos.

Paralelepípedos Retos   

Neste caso, podemos fazer uma distinção entre o paralelepípedo reto e o paralelepípedo reto-retângulo. No paralelepípedo reto, temos um prisma reto cuja base é um paralelogramo.

No paralelepípedo reto-retângulo, as bases são formadas por retângulos, ou seja, o sólido todo é composto por 6 retângulos.

Um prisma é um sólido geométrico que possui duas bases opostas, paralelas e congruentes. Desta forma, podemos afirmar que todo paralelepípedo é um prisma, mas nem todo prisma é um paralelepípedo. 

Um caso particular de paralelepípedo reto-retângulo também merece ser destacado: o CUBO. Se todas as faces do paralelepípedo reto-retângulo forem quadradas (uma vez que todo quadrado é um retângulo), temos um cubo.

Assim, todas as fórmulas estudadas anteriormente se aplicam para o cubo:

D=a2+a2+a2=3a2=a3

At=2 . (a.a+a.a+a.a)=2 . (3a2)=6a2

V=a.a.a=a3

Desta forma, temos um caminho prático para resolver problemas envolvendo cubos.

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