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Matemática

Paralelepípedo

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 12/12/2018

Introdução

Um paralelepípedo é um prisma cujas faces são paralelogramos. Há dois tipos de paralelepípedos: os oblíquos:

E os retos:

Ou seja, aqueles cujas faces são retângulos.

Em geral, estudamos os paralelepípedos retos (também chamados de paralelepípedos reto-retângulos).

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Diagonal de um paralelepípedo

diagonal de um paralelepípedo é o segmento de reta que une dois vértices opostos, de modo que eles estejam em faces diferentes. Na figura abaixo, \(D\) é uma diagonal do paralelepípedo.

Se as dimensões do paralelepípedo, isto é, se seu comprimento, largura e altura medirem \(a,b\) e \(c\), então sua diagonal é dada por:

$$D=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$$

Por exemplo, se as dimensões forem 2cm, 1cm e 3cm, então temos que:

$$D=\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}$$

A fórmula da diagonal do paralelepípedo é uma consequência direta do Teorema de Pitágoras.

Área de um paralelepípedo

A área total de um paralelepípedo é a soma das áreas de todas as suas faces. Mas note que sempre há duas faces iguais (a de cima com a de baixo, a da direita com a da esquerda, e a da frente com a de trás). 

Portanto, como a área de um retângulo é base vezes altura, se as dimensões de um paralelepípedo forem \(a,b\) e \(c\), então sua área total é dada por:

$$A_{t}=2\cdot(ab+ac+bc)$$

Suponha assim que tenhamos um paralelepípedo de comprimento 5cm, largura 2cm e altura igual a 3cm, então temos que \(a=5,b=2\) e \(c=3\). Logo, sua área total valerá:

$$A_{t}=2\cdot(5\cdot2+5\cdot3+2\cdot3)\Rightarrow A_{t}=72cm^{2}$$

Volume de um paralelepípedo

Como um paralelepípedo é, antes de tudo, um prisma, então seu volume é o produto da área da base pela altura.

Se seu comprimento medir \(a\), sua largura \(b\), então sua área da base será:

$$A_{b}=a\cdot b$$

E sendo \(c\) a medida de sua altura, segue que seu volume é dado pela expressão:

$$V=a\cdot b\cdot c$$

Ou seja, o volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas dimensões.

Como exemplo, o volume do paralelepípedo abaixo é

$$V=4\cdot3\cdot\sqrt{2}\Rightarrow V=12\sqrt{2}cm^{3}$$

Fórmulas

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Exercícios

Exercício 1
(ENEM)

A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue:

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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