Paralelepípedo: definição, volume, área e diagonal

O paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional cujas seis faces são paralelogramos. Ele pertence à família dos prismas, pois tem duas bases opostas e congruentes.

Dependendo do formato de suas faces, o paralelepípedo pode ser classificado em dois tipos principais:

Paralelepípedo oblíquo

Suas faces são paralelogramos inclinados, sem ângulos retos.

Paralelepípedo reto

Todas as suas faces são retângulos, formando um prisma reto:

Neste caso, podemos fazer uma distinção entre o paralelepípedo reto e o paralelepípedo reto-retângulo. No paralelepípedo reto, temos um prisma reto cuja base é um paralelogramo.

No paralelepípedo reto-retângulo, as bases são formadas por retângulos, ou seja, o sólido todo é composto por 6 retângulos.

Todo paralelepípedo possui 6 faces quadrangulares. É possível que essas faces sejam paralelogramos ou retângulos, dependendo se estamos trabalhando com um paralelepípedo oblíquo ou reto.

Como calcular o volume do paralelepípedo?

O volume do paralelepípedo é calculado pela multiplicação de suas três dimensões.

Fórmula:

V = a × b × c

Onde:
a é o comprimento
b é a largura
c é a altura

Exemplo:
Se um paralelepípedo tem 4 cm de comprimento, 3 cm de largura e 5 cm de altura, seu volume será:

V = 4 × 3 × 5 = 60 cm³

Como descobrir o número de arestas?

Para descobrir o número de arestas de um paralelepípedo, basta observar que há um total de 6 faces quadrangulares e fazer (6 x 4) : 2 = 12. Uma vez que cada aresta sempre é compartilhada por duas faces.

A diagonal de um paralelepípedo é o segmento de reta que une dois vértices opostos, de modo que eles estejam em faces diferentes. Na figura abaixo, D é uma diagonal do paralelepípedo.

Se as dimensões do paralelepípedo, isto é, se seu comprimento, largura e altura medirem a, b e c, então sua diagonal é dada por:

D = √a2+b2+c2

Por exemplo, se as dimensões forem 2cm, 1cm e 3cm, então temos que:

D=√22+12+32=√14 cm

A fórmula da diagonal do paralelepípedo é uma consequência direta do Teorema de Pitágoras.

Chamando a diagonal da base de x, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para expressá-la em função de a e b, uma vez que forma-se um triângulo retângulo:

x² = a² + b²

Analisando o outro triângulo retângulo formado tendo a diagonal da base (x) e a altura do paralelepípedo (c) como catetos e a diagonal do paralelepípedo (D) como hipotenusa, temos:

D² = x² + c²

Substituindo o valor de x² encontrado anteriormente, chegamos em:

D² = a² + b² + c²

Ou seja,

D=a²+b²+c².

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A área total de um paralelepípedo é a soma das áreas de todas as suas faces. Mas note que sempre há duas faces iguais (a de cima com a de baixo, a da direita com a da esquerda, e a da frente com a de trás). 

Portanto, como a área de um retângulo é base vezes altura, se as dimensões de um paralelepípedo forem a, b e c, então sua área total é dada por:

At = 2 ⋅ (ab + ac + bc)

Suponha assim que tenhamos um paralelepípedo de comprimento 5 cm, largura 2 cm e altura igual a 3 cm, então temos que a = 5, b = 2 e c = 3. Logo, sua área total valerá:

At = 2 ⋅ (5⋅2 + 5⋅3 + 2⋅3) ⇒ At = 72cm2

Podemos também imaginar a planificação de um paralelepípedo para entender melhor como chegamos nesta fórmula.

Imaginando como uma “caixa aberta”, temos 6 retângulos, iguais 2 a 2, ou seja:

At = ab + ab + ac + ac + bc + bc

At = 2 . (ab + ac + bc).

Quantas vértices tem um paralelepípedo?

Um paralelepípedo tem oito vértices. Estes são os pontos onde se encontram três arestas do sólido.

Quantos lados tem um paralelepípedo?

Um paralelepípedo tem seis lados. Cada lado é um retângulo, e eles estão dispostos de forma que o paralelepípedo tenha três pares de lados paralelos e iguais entre si.

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Um prisma é um sólido geométrico que possui duas bases opostas, paralelas e congruentes. Desta forma, podemos afirmar que todo paralelepípedo é um prisma, mas nem todo prisma é um paralelepípedo. 

Um caso particular de paralelepípedo reto-retângulo também merece ser destacado: o CUBO. Se todas as faces do paralelepípedo reto-retângulo forem quadradas (uma vez que todo quadrado é um retângulo), temos um cubo.

Assim, todas as fórmulas estudadas anteriormente se aplicam para o cubo:

D=a2+a2+a2=3a2=a3

At=2 . (a.a+a.a+a.a)=2 . (3a2)=6a2

V=a.a.a=a3

Desta forma, temos um caminho prático para resolver problemas envolvendo cubos.