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Equação do 2º grau: aprenda a resolver de 3 formas diferentes
Matemática - Manual do Enem
Índice
Introdução
A equação do segundo grau possui uma importância significativa na resolução de problemas em diversas áreas, como física, engenharia, economia e ciências naturais. Através da resolução dessas equações, podemos determinar as raízes ou soluções, que podem ser valores reais ou complexos.
A equação do segundo grau também pode ser chamada de equação quadrática e dominar as técnicas de resolução destas equações é fundamental para solucionar os mais variados tipos de problemas.
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O que é uma equação de segundo grau?
Uma equação do segundo grau é uma equação algébrica que contém um termo quadrático, ou seja, pode ser escrita na forma geral ax² + bx + c = 0, sendo "a", "b" e "c" os coeficientes (com a ≠ 0) e "x" a variável desconhecida.
Como resolver uma equação de segundo grau?
Para resolver uma equação do segundo grau, existem três métodos principais: fatoração, completando o quadrado e a fórmula quadrática.
Vamos resolver a equação de segundo grau x² + 5x + 6 = 0 utilizando os três métodos: fatoração, completando o quadrado e fórmula quadrática (Bhaskara).
Como resolver uma equação do segundo grau com fatoração?
Reorganizando a equação, temos:
x² + 5x + 6 = 0
Agora, procuramos dois números que somem 5 e cujo produto seja 6. Neste caso, os números são 2 e 3. Assim, podemos fatorar a expressão:
(x + 2)(x + 3) = 0
Igualando cada fator a zero, temos:
x + 2 = 0 --> x = -2
x + 3 = 0 --> x = -3
Portanto, as soluções da equação são x = -2 e x = -3.
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Como resolver uma equação do segundo grau completando o quadrado?
Resolução completando o quadrado:
Reorganizando a equação, temos:
x² + 5x + 6 = 0
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos o quadrado da metade do coeficiente linear (5/2)² = 6.25:
x² + 5x + 6.25 - 6.25 + 6 = 0
(x + 2.5)² - 0.25 = 0
Simplificando a expressão, temos:
(x + 2.5)² = 0.25
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
x + 2.5 = ± √0.25
Resolvendo para x, temos:
x + 2.5 = ± 0.5
x = -2.5 ± 0.5
Portanto, as soluções da equação são x = -3 e x = -2.
Como resolver uma equação do segundo grau pela fórmula quadrática?
Reorganizando a equação, temos:
x² + 5x + 6 = 0
Identificando os valores dos coeficientes a = 1, b = 5 e c = 6, podemos utilizar a fórmula quadrática x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a para encontrar as soluções.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
x = (-5 ± √(5² - 4 * 1 * 6)) / (2 * 1)
x = (-5 ± √(25 - 24)) / 2
x = (-5 ± √1) / 2
x = (-5 ± 1) / 2
Portanto, as soluções da equação são x = -3 e x = -2.
Quando se usa equação do 2º grau?
- Lançamento de projéteis: Ao estudar o movimento de um objeto em trajetória parabólica, é possível utilizar equações do segundo grau para determinar a altura máxima atingida ou o alcance horizontal.
- Problemas de área: Em situações em que se deseja calcular a área de uma figura geométrica, como um quadrado, retângulo ou círculo, é possível estabelecer uma equação do segundo grau para encontrar as dimensões adequadas.
- Movimento uniformemente acelerado: Ao analisar o movimento de um objeto sob aceleração constante, como um carro em movimento, as equações do segundo grau podem ser usadas para determinar o tempo, a velocidade final ou a distância percorrida.
- Problemas financeiros: Em questões que envolvem cálculos de juros compostos, descontos ou investimentos, as equações do segundo grau podem auxiliar na resolução desses problemas.
Qual é a fórmula de Bhaskara?
A fórmula resolutiva da equação do 2º grau ficou amplamente conhecida como Fórmula de Bhaskara no Brasil. A fórmula diz que os valores de x que satisfazem a equação ax² + bx + c = 0 são:
O nome se trata de uma homenagem ao matemático indiano Bhaskara Akaria, que viveu no século XII, embora não haja evidências de que ele tenha desenvolvido tal fórmula.
Qual é o valor do delta?
A letra grega delta (Δ) é utilizada para se referir ao discriminante da equação do 2º grau, que é o termo que está dentro da raiz. Desta forma, podemos dizer que:
Δ = b² - 4ac
O valor do delta nos dará o número de soluções da equação do 2º grau. Assim, temos que:
Δ > 0 - Haverá duas soluções reais e distintas;
Δ = 0 - Haverá apenas uma solução real (ou duas idênticas);
Δ < 0 - Não há soluções reais (mas há duas soluções complexas conjugadas)
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Determine os valores de x que satisfazem a equação 2x² - 3x + 1 = 0.