Equação do 2º grau: saiba como resolver e veja exercícios

Em resumo:

• A equação do 2º grau é uma expressão algébrica na forma ax² + bx + c = 0, usada para resolver problemas em áreas como física, engenharia e economia.

• Existem três métodos principais para resolver: fatoração, completando o quadrado e fórmula de Bhaskara, todos levando às mesmas soluções.

• O valor de Δ (delta) determina o número de soluções: duas reais e distintas (Δ>0), uma real (Δ=0) ou duas complexas (Δ<0).

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A equação do segundo grau possui uma importância significativa na resolução de problemas em diversas áreas, como física, engenharia, economia e ciências naturais. Através da resolução dessas equações, podemos determinar as raízes ou soluções, que podem ser valores reais ou complexos. 

A equação do segundo grau também pode ser chamada de equação quadrática e dominar as técnicas de resolução destas equações é fundamental para solucionar os mais variados tipos de problemas.

A equação do segundo grau, também chamada de equação quadrática, é uma expressão matemática que tem a letra (ou variável) elevada ao quadrado. Ela é escrita da seguinte forma: ax² + bx + c = 0

Nessa fórmula:

• a, b e c são números chamados de coeficientes;

• x é o valor que queremos descobrir;

• e o número a precisa ser diferente de zero, ou seja: a ≠ 0( se for zero, a equação deixa de ser de segundo grau).

Essas equações aparecem em vários tipos de problemas do dia a dia, como em cálculos de área, trajetórias de objetos, movimentação de veículos ou até em situações financeiras. O gráfico de uma equação do 2º grau forma uma parábola, uma curva em formato de “U”, que pode estar voltada para cima ou para baixo.

Resolver uma equação do segundo grau significa encontrar os valores de x (chamados de raízes ou soluções) que tornam a equação verdadeira. Existem três formas principais de fazer isso: fatoração, completando o quadrado e fórmula de Bhaskara, também conhecida como fórmula quadrática.

Independentemente do método escolhido, o primeiro passo é identificar os coeficientes da equação escrita na forma geral ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números conhecidos e x é a incógnita. Em seguida, aplica-se o procedimento adequado para encontrar as duas possíveis soluções (ou apenas uma, dependendo do valor do delta, representado pela letra grega Δ).

Nos tópicos seguintes, você verá como resolver a mesma equação de segundo grau: x² + 5x + 6 = 0,  utilizando cada um dos três métodos de forma prática e passo a passo.

Reorganizando a equação, temos:

x² + 5x + 6 = 0

Agora, procuramos dois números que somem 5 e cujo produto seja 6. Neste caso, os números são 2 e 3. Assim, podemos fatorar a expressão:

(x + 2)(x + 3) = 0

Igualando cada fator a zero, temos:

x + 2 = 0 --> x = -2

x + 3 = 0 --> x = -3

Portanto, as soluções da equação são x = -2 e x = -3.

Confira como fazer a resolução completando o quadrado. Reorganizando a equação, temos:

x² + 5x + 6 = 0

Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos o quadrado da metade do coeficiente linear (5/2)² = 6.25:

x² + 5x + 6.25 - 6.25 + 6 = 0

(x + 2.5)² - 0.25 = 0

Simplificando a expressão, temos:

(x + 2.5)² = 0.25

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

x + 2.5 = ± √0.25

Resolvendo para x, temos:

x + 2.5 = ± 0.5

x = -2.5 ± 0.5

Portanto, as soluções da equação são x = -3 e x = -2.

Reorganizando a equação, temos:

x² + 5x + 6 = 0

Identificando os valores dos coeficientes a = 1, b = 5 e c = 6, podemos utilizar a fórmula quadrática x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a para encontrar as soluções.

Substituindo os valores na fórmula, temos:

x = (-5 ± √(5² - 4 * 1 * 6)) / (2 * 1)

x = (-5 ± √(25 - 24)) / 2

x = (-5 ± √1) / 2

x = (-5 ± 1) / 2

Portanto, as soluções da equação são x = -3 e x = -2.

• Lançamento de projéteis: ao estudar o movimento de um objeto em trajetória parabólica, é possível utilizar equações do segundo grau para determinar a altura máxima atingida ou o alcance horizontal.
  
  
• Na resolução de problemas envolvendo a força magnética e suas relações quadráticas.
  
• Problemas de área: em situações em que se deseja calcular a área de uma figura geométrica, como um quadrado, retângulo ou círculo, é possível estabelecer uma equação do segundo grau para encontrar as dimensões adequadas.
  
  
• Movimento uniformemente acelerado: ao analisar o movimento de um objeto sob aceleração constante, como um carro em movimento, as equações do segundo grau podem ser usadas para determinar o tempo, a velocidade final ou a distância percorrida.
  
  
• Problemas financeiros: em questões que envolvem cálculos de juros compostos, descontos ou investimentos, as equações do segundo grau podem auxiliar na resolução desses problemas.

A fórmula de Bhaskara é o método mais conhecido e utilizado para resolver equações do segundo grau. Ela permite encontrar os valores de x (chamados de raízes) que tornam verdadeira a equação ax² + bx + c = 0.

A fórmula é escrita assim:

x = -b ± √(b² - 4ac) / 2a​​

Nela:

• a, b e c são os coeficientes da equação;

• o símbolo ± (mais ou menos) indica que podem existir duas soluções diferentes;

• e o termo dentro da raiz (b² - 4ac) é chamado de delta (Δ).

Apesar de ser conhecida como fórmula de Bhaskara, o nome é apenas uma homenagem ao matemático indiano Bhaskara Acharya, que viveu no século XII — não há registros de que ele tenha realmente criado essa expressão.

Qual é o valor do delta?

O delta, representado pela letra grega Δ, é o discriminante da equação, ou seja, o valor que indica quantas soluções a equação do 2º grau possui. Ele é calculado pela expressão:

Δ = b² -  4ac

O valor do delta nos dará o número de soluções da equação do 2º grau. Assim, temos que:

• Δ > 0 → a equação tem duas soluções reais e diferentes;

• Δ = 0 → a equação tem uma única solução real (ou duas iguais);

• Δ < 0 → a equação não tem soluções reais, mas possui duas soluções complexas.

Em resumo: o delta mostra se há raízes reais e, quando elas existem, a fórmula de Bhaskara é usada para calculá-las com precisão.

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