Elipse (Matemática)

A elipse, assim como a circunferência, a parábola e a hipérbole, é definida como uma cônica (ou seção cônica). Este nome vem, no caso da elipse, do fato de que ela é obtida a partir da interseção de um plano com a superfície lateral do cone, como mostra a figura abaixo.

Figura 1 - Interseção de um plano com a superfície lateral do cone. Como resultado, tem-se a elipse.

A figura abaixo nos ajuda a entender melhor quais os elementos de uma elipse.

Figura 2 - Elipse com seus elementos principais.

Assim, na elipse, temos:

• O: centro
• \(\overline{BB'}\): eixo menor
• \(\overline{AA'}\): eixo maior
• \(\overline{F_{1}F_{2}}\): distância focal
• \(F_{1}\) e \(F_{2}\): focos da elipse

Uma propriedade muito importante da elipse, a qual não deve ser esquecida, é que ela é o conjunto dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos \(F_{1}\) e \(F_{2}\) (ou seja, os focos) é constante. 

Reescrevendo isso em forma de equação, temos:

\(\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}=constante=2a\)

De forma mais simples, a soma dos comprimentos das linhas vermelhas na figura 2 é constante, qualquer que seja o ponto P.

Além disso, temos que a seguinte relação pitagórica também é válida:

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)

A equação reduzida de uma elipse de semieixos “a” (maior eixo) e “b” (menor eixo) é:

\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

Atenção! A equação acima é válida quando o eixo maior está contido no eixo x. Caso o eixo maior (ou seja, o que tem medida 2a), esteja contido no eixo y, a equação fica da seguinte maneira:

\(\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\)

Chamamos de excentricidade de uma elipse a seguinte relação:

\(e=\frac{c}{a}\), sendo que \(0\leq e\leq 1\)

Note que quando a excentricidade for nula (e=0), teremos o caso onde c=0 e, então, a=b. Assim, neste caso, teremos uma circunferência. Portanto, uma elipse de excentricidade nula é uma circunferência!

Já no caso da excentricidade possuir seu valor máximo (e=1), teremos c=a e, então, “b” será nulo. Assim, tem-se que nesta situação, a elipse se torna um segmento de reta, já que um dos semieixos (ou seja, o “b”) tem valor nulo.

Figura 3 - Mudança no formato da elipse conforme a excentricidade.

Agora que estudamos toda a teoria, vamos aplicar com os exemplos.

Exemplo 1: Determine o centro, a medida dos eixos menor e maior e a distância focal da elipse de equação \(16x^{2}+25y^{2}-400=0\).

Resolução: Primeiro, vamos deixar a equação da elipse na forma como foi vista anteriormente.

\(16x^{2}+25y^{2}-400=0\rightarrow 16x^{2}+25y^{2}=400\rightarrow \frac{16x^{2}}{400}+\frac{25y^{2}}{400}=1\rightarrow \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\rightarrow \frac{x^{2}}{(5)^{2}}+\frac{y^{2}}{(4)^{2}}=1\)

Assim, fica fácil notar que:

• Eixo menor: \(2\cdot 4=8\)
• Eixo maior: \(2\cdot 5=10\)
• Centro = (0; 0)

Para determinar a distância focal, fazemos:

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\rightarrow 5^{2}=4^{2}+c^{2}\rightarrow c^{2}=9\rightarrow c=3\)

Assim, a distância focal é \(2\cdot 3=6\).

Exemplo 2: Obtenha a equação da elipse, o eixo maior, o eixo menor, a excentricidade, sabendo os focos \(F_{1}=(2;0)\) e \(F_{2}=(-2;0)\) e a curva que passa pelo ponto P (2; 3).

Resolução: Ilustrando a situação, temos:

Figura 4 - Elipse do exemplo 2.

\(\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}=2a\rightarrow \sqrt{(2+2)^{2}+(3-0)^{2}}+\sqrt{(2-2)^{2}+(3-0)^{2}}=2a\rightarrow \sqrt{16+9}+\sqrt{9}=2a\rightarrow 5+3=2a\rightarrow a=4\)

Agora, sabendo que a distância focal é igual a 4 (distância entre os dois focos), calculamos “b”:

\(4^{2}=(2)^{2}+b^{2}\rightarrow b=2\sqrt{3}\)

Assim, temos que:

• Eixo maior: 2a=8
• Eixo menor: \(2b=4\sqrt{3}\)
• Excentricidade: \(e=\frac{c}{a}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
• Equação da elipse: \(\frac{x^{2}}{(4)^{2}}+\frac{y^{2}}{(2\sqrt{3})^{2}}=1\)

• A trajetória que o planeta Terra faz em torno do Sol é elíptica, sendo o Sol um dos focos dessa trajetória.
• A lua e outros elementos espaciais (como satélites e cometas) também descrevem percursos onde forma-se uma elipse.
• Na construção civil, arcos em formato de semi-elipse são muito empregados.
• Faz-se uso, em engenharia mecânica, de engrenagens elípticas.