Equação da Reta

Como expressar todos os pontos que pertencem a uma reta? De forma geométrica, podemos representá-los fazendo uma simples reta em um gráfico. De forma algébrica, teremos que usar a equação da reta.

Definiremos as coordenadas dos pontos pertencentes à reta por meio das incógnitas x e y (se a reta pertencer a um espaço de duas dimensões), que se relacionam entre si pela equação. Caso a equação pertença a um espaço de três dimensões, usaremos as incógnitas x, y e z.

Para cada reta, existe apenas uma equação da reta. No entanto, ela pode ser organizada de várias formas diferentes, como veremos a seguir.

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Esta é uma forma bastante prática da equação. Ela parte do pressuposto de que conhecemos tanto o coeficiente angular m, que expressa a inclinação da reta, quanto as coordenadas (x0, y0) de um ponto da reta. É expressa do seguinte modo:

(y-y0) = m(x-x0)

Um coeficiente angular alto indica uma elevada inclinação; um coeficiente angular nulo, por sua vez, indica que a reta é horizontal. Nos casos em que ele não é dado, esse coeficiente pode ser determinado usando as coordenadas (x0, y0) e (x1, y1) de dois pontos da reta.

$$ m=\dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} $$

Exemplo:

Se uma reta passa pelos pontos (1, -1) e (3, 4), determine a equação fundamental da reta.

Resolução: o coeficiente angular m é dado por

$$ m=\frac{4-\left(-1\right)}{3-1}=\frac{5}{2} $$

Utilizando o ponto (1, -1), a equação fundamental da reta é dada por

$$  y-\left(-1\right)=\frac{5}{2}\left(x-1\right) $$

Essa forma parte do pressuposto de que conhecemos tanto o coeficiente angular m, que expressa a inclinação da reta, quanto o coeficiente linear n, que localiza a reta. É expressa do seguinte modo:

y = mx + n

Uma variação no coeficiente linear é capaz apenas de deslocar a reta no eixo vertical. Veja abaixo o que ocorre quando alteramos o coeficiente linear de uma equação.

Exemplo:

Considerando a mesma reta do primeiro exemplo, encontre a equação reduzida.

Resolução: basta manipular a equação obtida

$$ y-\left(-1\right)=\frac{5}{2}\left(x-1\right) $$

$$ y=\frac{5}{2}x\ -\ \frac{7}{2} $$

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 A equação geral da reta é a equação organizada da seguinte forma:

ax + by + c = 0

em que a, b e c são os números reais (coeficientes) que definem a reta.

Note que a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Exemplo:

Considerando a mesma reta do primeiro exemplo, determine a equação geral da reta.

Resolução: sempre poderemos partir da equação na sua forma reduzida para chegar à forma geral. Desse modo, tem-se que

$$ y=\frac{5}{2}x-\frac{7}{2} $$

Manipulando essa equação, chegamos na sua forma geral

$$ 5x-2y-7=0 $$

Podemos definir a equação da reta por meio do cálculo do determinante de uma matriz 3x3, que contém as coordenadas de dois pontos da reta e deve ser igualado a zero. Para uma reta que contém os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), temos:

$$ D=\left|\begin{matrix}x&y&1\\x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\\end{matrix}\ \right|=0 $$

Pode-se entender o "1" que preenche a última coluna como um fator pelo qual a equação da reta estará multiplicada. Poderíamos ter preenchido a coluna com "2", de modo que toda a equação seria multiplicada por 2.

Vamos verificar esse método em um exemplo.

Exemplo:

Dados os pontos (1, 2) e (3, 3), determine a equação geral da reta.

Resolução:

$$ D=\left|\begin{matrix}x&y&1\\1&2&1\\3&3&1\\\end{matrix}\ \right|=0 $$

$$ 3+2x+3y-y-6-3x=0 $$

$$ x-2y+3=0 $$

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Uma outra forma de se obter a equação geral de uma reta é por meio de uma semelhança de triângulos. Vamos refazer o exemplo acima usando esse método.

Exemplo:

Dados os pontos (1, 2) e (3, 3), determine a equação geral da reta.

Resolução:

Traçamos a reta no gráfico a partir dos dois pontos.

Em seguida, marcamos um ponto qualquer (x0, y0) e fazemos uma semelhança entre o triângulo laranja e o triângulo vermelho.

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-2}{3-1}=\frac{y-2}{x-1} $$

$$ \frac{1}{2}=\frac{y-2}{x-1} $$

$$ x-2y+3=0 $$

Uma reta também pode ser representada utilizando-se vetores. Note que vetores são apenas "flechas" e não estão "presos" no espaço. Para que forme uma reta, portanto, um vetor deve estar ligado a um ponto A0(x0, y0). Sendo A(x, y) um ponto pertencente à reta e ligado a A0 pelo vetor, e k o fator que determina o comprimento desse vetor,

$$ \left(x,\ y\right)=\left(x_0,y_0\right)+k\vec{\nu} $$

De outra forma,

$$ \left(x,\ y\right)=\left(x_0,y_0\right)+k\left({\vec{\nu}}_x,{\vec{\nu}}_x\right) $$

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A equação vetorial já nos indica as equações paramétricas, uma forma de representar a reta separando-a em uma equação para cada eixo, relacionadas por meio de um parâmetro. 

Dessa forma,

$$ x=x_0+{\vec{\nu}}_xk $$

$$ y=y_0+{\vec{\nu}}_yk $$

Exemplo:

A partir das seguintes equações paramétricas, encontre a equação geral da reta.

$$ x=3+2k $$
$$ y=1-k $$

O parâmetro é o que relaciona as duas equações. Isolando-o,

$$ k=\frac{x-3}{2} $$

$$ k=1-y $$

Igualando as duas equações,

$$ \frac{x-3}{2}\ =\ 1-y $$

$$ x+2y-5=0 $$

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