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Matemática

Semelhança de triângulos

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 7/11/2018

Introdução

Dizer que duas figuras geométricas são semelhantes significa que uma é “aumentada” ou “diminuída” da outra. Por exemplo, se tomarmos um quadrado como na figura a seguir

E dobrarmos o seu tamanho (neste caso, estamos aumentando), então tais quadrados são ditos semelhantes.

Do mesmo modo, considerando o polígono abaixo:

E o reduzindo a um terço do seu tamanho (ou seja, diminuindo), também dizemos aqui que estes polígonos são semelhantes.

Ou seja, figuras geométricas são semelhantes quando forem parecidas, no sentido de que podemos aumentar ou diminuir o seu tamanho para elas se tornarem iguais, isto é, congruentes.

Matematicamente, para duas formas geométricas serem semelhantes, deve haver uma proporção entre elas.

Triângulos semelhantes

Tomando dois triângulos \( ABC\) e \( DEF\), nós diremos que eles são triângulos semelhantes (e escrevemos \( \triangle ABC\tilde\triangle DEF\)) se os seus três ângulos internos forem ordenadamente congruentes (isto é, possuem a mesma medida), e os respectivos lados correspondentes forem proporcionais entre si.

Ou seja:

$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF} \\ \hat{A}=\hat{D},\quad\hat{B}=\hat{E},\quad\hat{C}=\hat{F} \end{array}\right.$$

Razão de semelhança

Nos triângulos acima, vamos supor que o valor da razão entre os lados correspondentes seja igual a \( k\):

$$ \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=k$$

Então ao valor \( k\), damos o nome de razão de semelhança dos triângulos.

Por exemplo, se \( k=2\), então significa que um triângulo é o dobro do outro. Caso \( k=\frac{1}{4}\), então um triângulo tem a quarta parte do tamanho do outro e assim por diante. Ainda, no caso em que \( k=1\), então os triângulos são ditos congruentes.

É evidente ainda que \( k>0\).

Critérios de semelhança

Pela definição, a princípio, para mostrarmos que dois triângulos são semelhantes entre si, devemos demonstrar os quatro itens anteriormente listados: a congruência entre cada ângulo e a proporção entre os lados correspondentes.

Porém, através dos critérios de semelhança, podemos simplificar nossos cálculos, mostrando apenas dois ou três itens que consequentemente nos darão a semelhança entre os triângulos e, portanto, a validação dos quatro itens da definição de semelhança.

  • Critério AA~ (ângulo, ângulo): se dois triângulos obtiverem ordenadamente dois ângulos congruentes entre si, então eles serão semelhantes.

$$ \hat{A}=\hat{D}$$

e

$$ \hat{B}=\hat{C}$$

Este critério é o mais utilizado na resolução de exercícios e também o mais simples: basta determinarmos dois pares de ângulos iguais entre os triângulos que eles serão semelhantes e, portanto, poderemos aplicar a proporção entre os seus lados correspondentes.

  • Critério LAL~ (lado, ângulo, lado): caso dois triângulos tiverem dois lados correspondentes proporcionais entre si e ainda, se os ângulos entre tais lados forem côngruos, então os triângulos serão semelhantes;

$$ \frac{AB}{CD}=\frac{AC}{EF}$$

e

$$ \hat{A}=\hat{D}$$

  • Critério LLL~ (lado, lado, lado): se dois triângulos tiverem os três lados correspondentes proporcionais entre si, então eles serão semelhantes.

$$ \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$$

Semelhança de triângulos e perímetro

O perímetro de uma figura geométrica é a soma das medidas de todos os seus lados. Usualmente indicamos o perímetro por \( 2p\). No caso de triângulos, o seu perímetro é a soma dos seus três lados.

Se dois triângulos forem semelhantes de modo que a razão de semelhança seja \( k\), então a razão entre os seus perímetros será também igual a \( k\).

Sendo \( 2p=a+b+c\) e \( 2p’=d+e+f\), e se

$$ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}=k$$

Então:

$$ \frac{2p}{2p’}=k$$

Semelhança de triângulos e altura

Suponha que os triângulos \( ABC\) e \( DEF\) abaixo sejam semelhantes entre si com razão de semelhança \(k\), isto é:

$$ \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=k$$

E tomemos as alturas relativas aos lados \( \bar{BC}\) e \( \bar{EF}\), com medidas, respectivamente, iguais a \( h\) e \( h’\).

Então a razão de semelhança entre as alturas também será \( k\):

$$ \frac{h}{h’}=k$$

Semelhança de triângulos e área

Caso dois triângulos sejam semelhantes com razão de semelhança \( k\), então a razão entre as suas áreas será igual a \( k^{2}\).

Tanto a altura e a base dos triângulos estão na razão k. Logo a área fica na razão \(k^{2}\)

$$ \frac{A_{\triangle ABC}}{A_{\triangle DEF}} =k^{2}$$

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(FUVEST)

Na figura, o triângulo \( ABC\) é retângulo em \( A\), \( ADEF\) é um quadrado, \( AB=1\) e \( AC=3\). Quanto mede o lado do quadrado?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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