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Matemática

Equação da Circunferência

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 10/5/2019

Introdução

Dizemos que a circunferência é uma seção cônica pois é obtida pela interseção de um plano com a superfície lateral de um cone.

Além disso, a partir da geometria plana, sabemos que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto dado (onde a distância é o raio da circunferência).

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Equação reduzida da circunferência

A expressão abaixo representa a equação reduzida de centro (a; b) e raio R:

\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)

Exemplo 1: determine a equação reduzida da circunferência de centro (1; 2) e raio 3.

Resolução: utilizando a fórmula dada, temos:

\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2}\)

Exemplo 2: determine a equação da circunferência que tem diâmetro \(\overline{AB}\) tal que A(2; 4) e B(6; -2).

Resolução: ilustrando a situação, temos:


Sabemos que o centro O é o ponto médio de \(\overline{AB}\), então:

\(a=\frac{2+6}{2}=4 \ e \ b=\frac{4-2}{2}=1\rightarrow O(4;1)\)

\(R=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{13}\)

Assim:

\((x-4)^{2}+(y-1)^{2}=(\sqrt{13})^{2}\)

Equação geral da circunferência

O desenvolvimento da forma reduzida da equação da circunferência se torna a equação geral:

\(x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-R^{2}=0\)

Lembre-se que é comum os problemas fornecerem a equação geral enquanto precisamos determinar o centro e o raio da circunferência.

Para obtermos a forma reduzida a partir da equação geral, devemos encontrar os dois quadrados perfeitos.

Exemplo 3: determine o centro e o raio das circunferências abaixo.

  • \(x^{2}+y^{2}+10y=0\)
  • \(x^{2}+y^{2}+4x+2y-11=0\)

Resolução:

  • \((x-0)+(y^{2}+2\cdot y\cdot 5+5^{2})-25=0\)

Como adicionamos o termo \(5^{2}\), devemos subtrair 25 a fim de que a equação continue igual como estava antes:

\(x^{2}+(y+5)^{2}=5^{2}\)
Temos que o centro é (0; -5) e R=5.

  • \((x^{2}+2\cdot x\cdot 2+2^{2})-4+(y^{2}+2\cdot y\cdot 1+1^{2})-1-11=0\rightarrow (x+2)^{2}+(y+1)^{2}=4^{2}\)
    Temos que o centro é (-2; -1) e R=4.

Pontos dentro ou fora da circunferência

A partir da equação reduzida da circunferência, podemos escrever outras duas expressões que indicam quando um ponto está dentro ou fora da circunferência:

  • \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\): representa todos os pontos do plano que estão dentro da

circunferência, ou seja, pontos cujas distâncias até o centro são menores ou iguais ao raio

  • \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}\geq  R^{2}\): representa todos os pontos do plano que estão fora da

circunferência, ou seja, pontos cujas distâncias até o centro são maiores ou iguais ao raio

Posições relativas entre reta e circunferência

Observe o esquema abaixo das possíveis posições entre as retas r e a circunferência \(\alpha\):


Sabemos que a equação da reta (equação do primeiro grau) é do formato ax+by+c=0 e a equação geral da circunferência é do formato \(x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0\). Assim, observamos os possíveis casos, em relação ao sistema S, entre essas duas equações:

  • S com 2 soluções: \(r\cap \alpha =\{A; B\}\). Ou seja: a reta é secante à circunferência (neste caso, \(r_{1}\)).
  • S com 1 solução:  \(r\cap \alpha =\{T\}\). Ou seja: a reta é tangente à circunferência (neste caso, \(r_{2}\)).
  • S sem solução: \(r\cap \alpha =\varnothing\) . Ou seja: a reta é exterior à circunferência (neste caso, \(r_{3}\)).

Repare que a condição para que uma reta r seja tangente a uma circunferência é que a distância do centro à reta r deve ser igual ao raio da circunferência.

Exemplo 4: determinar a equação da tangente à circunferência \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\), pelo ponto P(-1; 2).

Resolução: encontrar onde está o ponto P em relação à circunferência:

\((-1)^{2}+2^{2}-2\cdot (-1)-4\cdot 2+1=0\rightarrow 1+4+2-8+1=0\rightarrow 0=0\)

Assim, percebemos que P pertence à circunferência. Vamos, então, determinar o centro da circunferência:

\((x^{2}-2x+1)-1+(y^{2}-4y+4)-4+1=0\rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\)

Temos, então, centro (1; 2) e R=2. Ilustrando:


Assim, a reta \(\overline{OT}\) possui equação y=2. Então, a reta r possui equação x+1=0.

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Posições relativas entre circunferências

As circunferências podem ser secantes, tangentes, exteriores ou interiores. Observe:



Os problemas envolvendo este tipo de conceito são resolvidos de forma semelhante ao caso das posições relativas entre reta e circunferência. Neste caso, usa-se as equações das duas circunferências em questão para solucionar o sistema S, a fim de que seja determinado os pontos de interseção entre elas.

Lembre-se: para circunferências tangentes exteriores, a distância entre seus centros é a soma do raio de uma circunferência com o raio da outra. No caso das tangentes interiores, essa distância será dada pela diferença entre um raio e o outro.

Fórmulas



Exercícios

Exercício 1
(ENEM/2013)

Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

  • é a circunferência de equação \(x^{2}+y^{2}=9\); 
  • é a parábola de equação \(y=-x^{2}-1\), com x variando de – 1 a 1; 
  • é o quadrado formado pelos vértices (– 2, 1), (– 1, 1), (– 1, 2) e (– 2, 2); 
  • é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V – é o ponto (0, 0).
  • Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

    A. B. 

    C. 

    D. 

    E. 

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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