Dizemos que a circunferência é uma seção cônica pois é obtida pela interseção de um plano com a superfície lateral de um cone.
Além disso, a partir da geometria plana, sabemos que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto dado (onde a distância é o raio da circunferência).
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A expressão abaixo representa a equação reduzida de centro (a; b) e raio R:
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)
Exemplo 1: determine a equação reduzida da circunferência de centro (1; 2) e raio 3.
Resolução: utilizando a fórmula dada, temos:
\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2}\)
Exemplo 2: determine a equação da circunferência que tem diâmetro \(\overline{AB}\) tal que A(2; 4) e B(6; -2).
Resolução: ilustrando a situação, temos:
Sabemos que o centro O é o ponto médio de \(\overline{AB}\), então:
\(a=\frac{2+6}{2}=4 \ e \ b=\frac{4-2}{2}=1\rightarrow O(4;1)\)
\(R=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{13}\)
Assim:
\((x-4)^{2}+(y-1)^{2}=(\sqrt{13})^{2}\)
O desenvolvimento da forma reduzida da equação da circunferência se torna a equação geral:
\(x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-R^{2}=0\)
Lembre-se que é comum os problemas fornecerem a equação geral enquanto precisamos determinar o centro e o raio da circunferência.
Para obtermos a forma reduzida a partir da equação geral, devemos encontrar os dois quadrados perfeitos.
Exemplo 3: determine o centro e o raio das circunferências abaixo.
Resolução:
Como adicionamos o termo \(5^{2}\), devemos subtrair 25 a fim de que a equação continue igual como estava antes:
\(x^{2}+(y+5)^{2}=5^{2}\)
Temos que o centro é (0; -5) e R=5.
A partir da equação reduzida da circunferência, podemos escrever outras duas expressões que indicam quando um ponto está dentro ou fora da circunferência:
circunferência, ou seja, pontos cujas distâncias até o centro são menores ou iguais ao raio
circunferência, ou seja, pontos cujas distâncias até o centro são maiores ou iguais ao raio
Observe o esquema abaixo das possíveis posições entre as retas r e a circunferência \(\alpha\):
Sabemos que a equação da reta (equação do primeiro grau) é do formato ax+by+c=0 e a equação geral da circunferência é do formato \(x^{2}+y^{2}+dx+ey+f=0\). Assim, observamos os possíveis casos, em relação ao sistema S, entre essas duas equações:
Repare que a condição para que uma reta r seja tangente a uma circunferência é que a distância do centro à reta r deve ser igual ao raio da circunferência.
Exemplo 4: determinar a equação da tangente à circunferência \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\), pelo ponto P(-1; 2).
Resolução: encontrar onde está o ponto P em relação à circunferência:
\((-1)^{2}+2^{2}-2\cdot (-1)-4\cdot 2+1=0\rightarrow 1+4+2-8+1=0\rightarrow 0=0\)
Assim, percebemos que P pertence à circunferência. Vamos, então, determinar o centro da circunferência:
\((x^{2}-2x+1)-1+(y^{2}-4y+4)-4+1=0\rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\)
Temos, então, centro (1; 2) e R=2. Ilustrando:
Assim, a reta \(\overline{OT}\) possui equação y=2. Então, a reta r possui equação x+1=0.
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As circunferências podem ser secantes, tangentes, exteriores ou interiores. Observe:
Os problemas envolvendo este tipo de conceito são resolvidos de forma semelhante ao caso das posições relativas entre reta e circunferência. Neste caso, usa-se as equações das duas circunferências em questão para solucionar o sistema S, a fim de que seja determinado os pontos de interseção entre elas.
Lembre-se: para circunferências tangentes exteriores, a distância entre seus centros é a soma do raio de uma circunferência com o raio da outra. No caso das tangentes interiores, essa distância será dada pela diferença entre um raio e o outro.
Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
A. B.
C.
D.
E.