Função inversa

Antes de definirmos o que vem a ser uma função inversa, precisamos de alguns conceitos iniciais que envolvem a teoria de funções.

Consideremos, inicialmente, dois conjuntos \(A\) e \(B\) não-vazios e estabeleçamos uma aplicação que relaciona os elementos de \(A\) com os elementos de \(B\).

Na figura abaixo, temos duas relações entre os conjuntos \(A\) e \(B\) que chamamos de \(f\) e \(g\):

Note que na relação \(f\) todos os elementos do conjunto \(A\) estão relacionados a um único elemento do conjunto \(B\); porém, o mesmo não se pode dizer sobre a relação \(g\): o elemento 1 se relaciona com dois elementos do conjunto \(B\) e, além disso, o elemento 3 não se relaciona com nenhum elemento do conjunto \(B\).

Definimos assim uma função: tomando \(f\) uma relação entre dois conjuntos não-vazios \(A\) e \(B\), diremos que \(f\) é uma função se todo elemento de \(A\) estiver relacionado a um único elemento de \(B\).

Das relações ilustradas anteriormente, apenas a aplicação \(f\) é uma função. Denotamos como \(f\colon A\to B\).

Em uma função que relaciona elementos de \(A\) com elementos de \(B\), dizemos que o conjunto \(A\) é o domínio da função e o conjunto \(B\), o seu contradomínio.

Além disso, definimos o conjunto-imagem como sendo aquele formado pelos elementos de \(B\) que, de fato, se relacionaram com elementos de \(A\). Note que, na função \(f\) acima, o conjunto-imagem não é igual ao contradomínio.

E, por fim, se \(x\) for um elemento de \(A\) e \(y\), um elemento de \(B\), de modo que \(x\) e \(y\) se relacionam através da função \(f\), então escrevemos \(y=f(x)\).

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Chamamos de função injetora a toda função que, para elementos diferentes do domínio, obtemos imagens diferentes

Isto é, dada uma função \(f\colon A\to B\), e considerando \(x_{1}\) e \(x_{2}\) elementos de \(A\) com \(x_{1}\neq x_{2}\), então \(f\) será injetora se

$$x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$$

Vamos considerar uma função \(f\) de domínio em \(A\) e contradomínio em \(B\). Diremos que \(f\) é uma função sobrejetora se o seu contradomínio for igual ao seu conjunto imagem.

Isto é, denotando o contra-domínio e o conjunto imagem por, respectivamente, \(CD_{f}\) e \(Im_{f}\), então f é dita sobrejetora se

$$CD_{f}=Im_{f}$$

Se uma função \(f\colon A\to B\) for, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, então é dito que ela é uma função bijetora.

Abaixo, temos um exemplo de função bijetora.

Observe que, em grande parte dos exemplos de função, não podemos, a partir dos elementos do contradomínio, obter uma nova função, invertendo-se as aplicações, pois, ao fazermos isto, a restrição da definição de função (todo elemento do domínio associado a   um único elemento do contradomínio) acaba não sendo respeitada.

Porém, se uma função for bijetora, conforme exemplificada anteriormente, podemos “inverter as setas” e obtermos, de fato, uma nova função com domínio em \(B\) e contra-domínio em \(A\); a esta nova função, damos o nome de função inversa de \(f\) e denotamos por \(f^{-1}\).

Ou seja, para existir a inversa de uma função, então necessariamente ela deve ser bijetora.

Determinação da função inversa

Para se determinar a lei da função inversa, basta seguir os passos:

• Escrever \(f(x)\) como \(y\);
• Trocar \(x\) por \(y\);
• Isolar \(y\).

Gráfico de uma função inversa

Graficamente, a curva da função inversa é simétrica da sua função original em relação a reta \(y=x\). Isto é, se \(f\) for uma função com \(f^{-1}\) a sua inversa, então o seu gráfico é um “espelho” de \(f\) onde tal espelho está indicado pela reta \(y=x\), conforme ilustra a imagem abaixo.