Função logarítmica

A função logarítmica é aquela que, para cada número real \(x\) positivo, associamos a ele o valor do seu logaritmo em uma determinada base fixada.

Antes de introduzir a noção de função logarítmica, iremos apresentar inicialmente o conceito de logaritmo propriamente dito.

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Consideremos um número real \(b\) positivo e diferente de 1. E tomemos \(a\) um número real positivo. Diremos que o logaritmo de \(a\) na base \(b\) é igual a \(x\) se:

$$\log_{b}a=x\Rightarrow b^{x}=a$$

ou seja, o logaritmo de \(a\) na base \(b\) será \(x\), se \(b\) elevado a \(x\) for igual a \(a\).

Chamamos o número real \(a\) de logaritmando.

Observe que, pela própria definição, a função logarítmica é a inversa da função exponencial pois buscamos valores que nos dão o valor do expoente, dado o valor da potência.

Por convenção, consideramos \(\log x\) como sendo o logaritmo de \(x\) na base 10, isto é, se o número da base estiver omitido, então ele é igual a 10:

$$\log x=\log_{10}x$$

Definimos o número irracional \(e\), como sendo \(e\cong2,71\). Tal número aparece em vários resultados na matemática do ensino superior. Definimos o logaritmo natural ou logaritmo neperiano como sendo o logaritmo de um número na base \(e\):

$$\log_{e}x=\ln x$$

Propriedades de logaritmo

Existem algumas propriedades de logaritmo que nos auxiliam nas resoluções das questões.

• A soma de dois logaritmos na mesma base é igual ao logaritmo do produto entre eles:
   $$\log_{b}a+\log_{b}c=\log_{b}(a\cdot c)$$
• A diferença entre dois logaritmos na mesma base é igual ao logaritmo do quociente entre eles:
   $$\log_{b}a-\log_{b}c=\log_{b}\left(\frac{a}{c}\right)$$
• O logaritmo de um número elevado a um expoente é igual ao produto desse logaritmo pelo expoente:
   $$\log_{b}(a^{n})=n\cdot\log_{b}a$$

Existe uma outra propriedade que também é de grande ajuda que está relacionada com a mudança de base do logaritmo. Então, supondo que queremos mudar um logaritmo na base \(b\) para outro logaritmo na base \(c\), devemos aplicar a seguinte relação:

$$\log_{b}a=\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}$$

É evidente que acima, consideramos em todas as propriedades, as restrições necessárias, isto é: logaritmandos sendo números positivos e as bases, valores positivos e diferentes de um.

A função logarítmica é aquela que, para cada valor real \(x\), aplica-se o logaritmo de \(x\) em um base fixada, isto é:

$$f(x)=\log_{a}x$$

onde, evidentemente, temos que \(0<a\neq1\).

Pelas restrições impostas, por definição, ao logaritmo de um número real \(x\), então temos que, a função logarítmica tem seu domínio como sendo o conjunto dos números reais estritamente positivos, isto é, aqueles que são maiores que zero e escrevemos:

$$D_{f}=\mathbb{R}_{+}^{\ast}$$

O gráfico da função logarítmica é uma curva que pode ser crescente ou decrescente dependendo do valor de sua base.

Considerando-se a função \(f(x)=\log_{a}\) x e se a base for um número tal qual maior que um, isto é, \(a>1\), então o gráfico da função é uma curva crescente e tem o seguinte esboço apresentado abaixo:

Agora, caso contrário, isto é, se a base da função logarítmica for um número real de modo que seja positivo e menor que 1, ou seja, \(0<a<1\), então a curva que representa o seu gráfico será decrescente. Na figura a seguir, temos um esboço de um gráfico de uma função envolvendo logaritmo cuja base está entre 0 e 1:

Note ainda que, em ambas as curvas, o gráfico da função \(f(x)=\log_{a}x\) chega muito próximo do eixo \(y\), porém não encosta nesta reta, cuja equação é \(x=0\). Definimos assim a reta \(x=0\) como a assíntota da função.