Equação logarítmica

Neste artigo, iremos exemplificar a resolução de equações logarítmicas, mas antes, vamos introduzir alguns conceitos que são importantes para o entendimento do assunto.

Chamamos de expressões algébricas todo conjunto que envolve operações (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) de letras e números.

Por exemplo, o conjunto abaixo é uma expressão algébrica:

$$ 4x+2y^{2}-3xz+5$$

Neste caso, ela tem 4 termos. Um termo é sempre separado do outro por um sinal de mais ou de menos. Além disso, tal expressão algébrica possui três variáveis (ou incógnitas) que são as letras representadas: \( x,y\) e \( z\).

É evidente que existem expressões algébricas com apenas um termo e com apenas uma variável. Há ainda expressões sem variável alguma.

Nós definimos uma equação como sendo uma igualdade entre duas expressões algébricas. Abaixo, temos uma equação com duas variáveis \( x\) e \( y\):

$$ 4x^{2}+3xy-5=2x+y$$

Quando dizemos que queremos resolver a equação, estamos buscando o seu conjunto solução, que são os valores das variáveis que satisfazem a igualdade em si.

Observe a equação:

$$ 2x+3=5$$

Temos que o seu conjunto solução é dado por \( S=\{1\}\), pois para \( x=1\) obtemos:

$$ 2\cdot1+3=2+3=5$$

Ou seja, a sentença se torna verdadeira. Neste caso, dizemos que \( x=1\) é zero ou raiz da equação.

Existem equações com mais de uma solução. Por exemplo, tomarmos a equação do segundo grau (recebe este nome pois a variável está elevada ao quadrado):

$$ x^{2}-5x+6=0$$

Podemos mostrar que para \( x=2\) e \( x=3\), obteremos uma sentença verdadeira, isto é, ao substituirmos tais valores na equação, teremos que 0=0.

Agora, se tomarmos \( x=1\) na equação anterior, então:

$$ 1^{2}-5\cdot1+6=1-5+6=2$$

Evidentemente é diferente de zero, ou seja, chegamos a uma sentença falsa. Portanto, \( x=1\) não é raiz da equação.

Logo, a equação \( x^{2}-5x+6=0\) tem como conjunto solução \( S=\{2,3\}\).

Há, ainda, equações cujo conjunto solução é infinito. É o caso, por exemplo, da seguinte equação:

$$ x+3=x+3$$

Neste caso, para qualquer número real \( x\), iremos sempre ter uma sentença verdadeira. Assim, \( S=\mathbb{R}\).

E, claramente, a equação abaixo não tem solução alguma:

$$ x-1=x+1$$

Por exemplo, se tomarmos \( x=3\), iremos obter:

$$ 3-1=3+1\Rightarrow 2=4$$

Tal sentença falsa acontece para todo número real \( x\) que substituirmos acima. Portanto, seu conjunto solução é o conjunto vazio: \( S=\varnothing\).

Uma equação logarítmica é aquela que envolve o logaritmo da variável. Em geral, podemos dizer que existem quatro tipos de equações logarítmicas, as quais mostraremos através de exemplos ao longo deste artigo.

A ideia principal de uma equação logarítmica é sempre ter dois logaritmos na mesma base, em ambos lados da igualdade, ou um único logaritmo em um lado da igualdade:

• $$ \log_{b}x=\log_{b}y$$
• $$ \log_{b}x=y$$

É importante ressaltar a importância da condição de existência. Observe o seguinte logaritmo:

$$ \log_{b}a$$

O logaritmando \( a\) sempre tem que ser um número positivo:

$$ a>0$$

E a base \( b\), um número positivo e diferente de 1:

$$ 0<b\neq1$$

Vamos resolver a equação:

$$ \log_{3}2+\log_{3}(x+1)=1$$

Inicialmente, temos que fazer a condição de existência no segundo logaritmando:

$$ x+1>0\Rightarrow x>-1$$

Isso significa que, para \( x\) estar no conjunto solução, então necessariamente ele deve ser um número estritamente maior que -1.

Como a soma de dois logaritmos na mesma base é o logaritmo do produto, então:

$$ \log_{3}2+\log_{3}(x+1)=1\Rightarrow\log_{3}[2\cdot(x+1)]=1$$

Ou seja:

$$ \log_{3}(2x+2)=1$$

E usando a definição de logaritmo, temos que:

$$ 2x+2=3^{1}\Rightarrow 2x+2=3$$

Ou seja, agora basta acharmos a solução da equação do 1º grau acima:

$$ 2x+2=3\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$$

Como \( \frac{1}{2}>-1\), segue que o conjunto solução é dado por:

$$ S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$$