Função modular

A função modular é aquela que associa, para cada número real, o seu módulo. Então, antes de introduzi-la, daremos a definição e propriedades do que vem a ser o módulo de um número real.

Chamamos de módulo de um número real, e denotamos por \(|x|\) como sendo o seu valor absoluto, isto é:

$$ |x| = \left\{\begin{array}{ll} x, & \text{se}\;x\geq0 \\ -x, & \text{se}\; x<0 \end{array}\right. $$

Ou seja, pela definição de módulo, sendo \(x\) um número real, e se \(x\) for um número positivo, o seu módulo será ele próprio. Caso contrário, isto é, se \(x\) for um número menor que zero, ou seja, um número negativo, então o módulo dele será o seu oposto; mas como o oposto de um número negativo é um número positivo, então o módulo de um número real é sempre um valor maior ou igual a zero.

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Existem algumas propriedades envolvendo módulo de números reais que nos auxiliam bastante durante os exercícios.

• O módulo de um número real é sempre um valor positivo: \(|x|\geq0\);
• Se o número real for zero, então necessariamente seu módulo também vale zero: \(x=0\Rightarrow |x|=0\)
• A recíproca também é verdadeira, isto é, se o módulo de um número real for zero, então este número é o zero: \(|x|=0\Rightarrow x=0\);
• O módulo do produto entre dois números reais é igual ao produto dos módulos desses números: \(|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\);
• O quadrado do módulo de um número real é igual ao módulo desse número elevado ao quadrado: \(|x|^{2}=|x^{2}|\);
• A raiz quadrada de um número elevado ao quadrado é o módulo desse número: \(\sqrt{x^{2}}=|x|\);

Existe uma outra propriedade do módulos de dois números reais que envolve a soma entre eles: é a chamada desigualdade triangular que diz que o módulo da soma de dois números reais é menor ou igual à soma dos módulos desses números:

$$|x+y|\leq|x|+|y|$$

Tal propriedade recebe esse nome porque ela remonta aos comprimentos dos lados de um triângulo. Basicamente, ela diz que a menor distância entre dois pontos é sempre um segmento de reta.

O módulo de um número real é muitas vezes associado ao comprimento, distância ou tamanho de algo. Sendo assim, considerando o triângulo \(ABC\) a seguir:

Note que o comprimento do lado \(\bar{AB}\) é igual à distância do vértice \(A\) até o vértice \(B\). A mesma ideia vale para os lados \(\bar{AC}\) e \(\bar{BC}\). E considerando que as distâncias dos lados \(\bar{AB},\bar{AC}\) e \(\bar{BC}\) sejam iguais, respectivamente, a \(|x|,|y|\) e \(|x+y|\) e caso queiramos nos locomovermos a partir do vértice \(A\) até o vértice \(C\), então  a menor distância a ser percorrida é \(AC=|x+y|\). Ou seja

$$|x+y|<|x|+|y|$$

E, passando pelo vértice \(B\), a menor distância possível entre \(A\) e \(C\) só seria possível, se \(B\) fosse um ponto do segmento \(\bar{AC}\).

E neste caso,

$$|x+y|=|x|+|y|$$

Portanto,

$$|x+y|\leq|x|+|y|$$

A função modular é aquela que, para cada número real \(x\), o associa ao seu valor absoluto, isto é, ao seu módulo \(|x|\). Escrevemos então:

$$f(x)=|x|$$

Como \(|x|\geq0\), então claramente a imagem da função modular são os números reais positivos.

O gráfico da função modular é dado a seguir:

Note que, pela definição de módulo, podemos concluir que o gráfico de \(f\) é a união das semirretas de equação \(y=-x\) e \(y=x\).

Abaixo, ilustramos alguns gráficos de funções modulares:

•   \(f(x)=|x-3|\)
   
  
• \(f(x)=|x^{2}-1|\)