Hipérbole (Matemática)

A cônica gerada pela seção de um plano com as duas superfícies de um cone é chamada de hipérbole, como mostra a figura abaixo.

Figura 1 - Hipérbole sendo gerada pela interseção de um plano com um cone.

Tranquilo, né? Vamos ver um pouco sobre as características dessa cônica!

Assim, como a circunferência, a elipse e a parábola, a hipérbole também é um lugar geométrico. Ela é definida como o lugar geométrico dos pontos do plano para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos do plano, \(F_{1}\) e \(F_{2}\), é em valor absoluto constante e igual a 2a, sendo menor que a distância focal \(\overline{F_{1}F_{2}}\).

Figura 2 - Hipérbole e a representação da sua propriedade.

Escrevendo o que foi dito acima, em forma de equação, temos que:

\(\mid \overline{PF_{1}-PF_{2}} \mid=2a\)

Figura 3 - Hipérbole e seus elementos em destaque.

Os elementos da hipérbole estão listados abaixo:

• \(\overline{AA'}\): eixo real;
• \(\overline{BB'}\): eixo imaginário;
• \(F_{1}\) e \(F_{2}\): focos;
• \(d_{1}\) e \(d_{2}\): assíntotas.

Beleza, mas… o que é uma assíntota?

Não se preocupe! O conceito de assíntota é bem tranquilo!

Uma assíntota de uma curva qualquer Z nada mais é do que um ponto, reta ou uma outra curva de onde os pontos de Z se aproximam à medida que vão percorrendo Z. Geralmente, a assíntota é uma reta, como acontece neste caso. 

Caso ainda não tenha ficado muito claro, olhe para as retas \(d_{1}\) e \(d_{2}\) da figura 3. Conforme vamos percorrendo a hipérbole em vermelho, ela tende a encostar nas retas \(d_{1}\) e \(d_{2}\), não é verdade?

Mas, calma, aqui vai um detalhe importante: elas nunca se encontram! Por mais que elas se aproximem ao longo da trajetória, elas nunca vão encontrar uma com a outra. Entendeu essa parte? Agora vamos ver como é o formato da equação da hipérbole.

Agora que o conceito de assíntota ficou claro para você, vamos dar uma olhada em como é o formato da equação da hipérbole.

Se nós partimos da equação da propriedade da hipérbole (\(\mid \overline{PF_{1}-PF_{2}} \mid=2a\)) e desenvolvermos ela, chegaremos na equação da hipérbole:

\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

Atenção! Essa equação vale quando a distância focal está no eixo x. No caso da distância focal se localizar no eixo y, a equação se torna:

\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)

Chamamos de excentricidade “e” da hipérbole a relação:

\(e=\frac{c}{a}\), com e> 1

A excentricidade sempre deve ser maior que 1 pois o valor de “c” será sempre maior que “a”.

Além disso, existe uma outra relação que pode ajudar muito na hora de resolver exercícios:

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)

Exemplo 1: Obtenha os focos da hipérbole \(\frac{(x-1)^{2}}{7}-\frac{(y-1)^{2}}{2}=1\).

Resolução: Pela equação dada pelo enunciado, notamos que \(a^{2}=7\) e \(b^{2}=2\). Assim:

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\rightarrow c^{2}=7+2\rightarrow c=3\)

As coordenadas do centro da hipérbole são, então, (1; 1). Assim, as coordenadas dos focos são (1+3; 1) e (1-3; 1), ou seja, (4; 1) e (-2; 1).