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Índice
Introdução
Hipótese, na matemática, é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação ou refutação desta hipótese.
A hipótese encontra-se na estruturação de um teorema, como veremos a seguir.
Principais conclusões
- Hipótese, na matemática, é o conjunto de condições iniciais e premissas necessárias para iniciar uma demonstração; ela delimita o contexto do problema e define as suposições a partir das quais se desenvolve o raciocínio lógico que verifica ou refuta a proposição.
- A hipótese opera como premissa na estrutura do teorema: fornece informações iniciais que, em conjunto com conceitos primitivos, axiomas e definições, orientam a demonstração — direta ou por absurdo — até a obtenção da tese ou conclusão aceita.
- No sistema axiomático, hipóteses aparecem acima das demonstrações e abaixo de definições e axiomas; elas articulam conceitos primitivos com postulados para permitir que resultados complexos (teoremas) sejam logicamente derivados a partir de afirmações mais básicas.
- Em provas e em questões tipo ENEM, o erro comum é confundir hipótese com tese ou omitir condições essenciais (por exemplo, “a,b ∈ ℝ+”); exemplifica-se na geometria e na álgebra, como na soma dos ângulos do triângulo e na desigualdade AM-GM, integrando lógica, geometria e álgebra.
- A hipótese tem relevância prática por garantir rigor e validade de modelos e argumentos: define limites de aplicação, orienta a escolha de métodos de prova (direto, contraditório) e sustenta a construção de teorias e soluções em problemas matemáticos e interdisciplinares.
Estruturação do teorema
Podemos estruturar o teorema da seguinte forma:
Assim, percebemos que a hipótese é o primeiro passo para que seja feita alguma conclusão a respeito de um suposto teorema.
O teorema, por sua vez, está incluso no que chamamos de sistema axiomático. Vamos ver como esse sistema funciona?
Sistema axiomático
Um sistema axiomático é qualquer conjunto de axiomas que podem ser ligados em conjunção para logicamente derivar teoremas. Na figura abaixo é apresentado um esquema do sistema axiomático.
Figura 1 - Esquema do sistema axiomático.
O sistema começa com os conceitos primitivos, os quais são óbvios através de uma simples observação. Os axiomas (ou postulados) são as conclusões evidentes dos conceitos primitivos. Derivando para as definições, temos que elas são informações mais elaboradas que servem como explicação para novos elementos de uma determinada teoria. Por fim, o teorema é a informação mais complexa, já que ele envolve todo o raciocínio das informações anteriores, além de possuir uma aplicação mais concreta.
Nesse sentido, todo teorema deve possuir uma explicação mais completa e detalhada, ou seja, uma demonstração.
Exemplos de hipótese
Vamos apresentar dois exemplos para deixar o conceito de hipótese mais claro, ok? Os exemplos se darão através de demonstrações de teoremas, onde a hipótese está incluída.
Exemplo 1
- Hipótese: considere um triângulo qualquer de ângulos internos de medidas \(\hat{A}\), \(\hat{B}\) e \(\hat{C}\).
- Tese: \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\)
- Demonstração:
Figura 2 - Exemplo do método direto.
Temos um triângulo ABC qualquer (definição). Vemos que \(r//\overline{BC}\) (postulado de Euclides), \(\alpha =\hat{C}\) e \(\beta =\hat{B}\) (teorema das paralelas). Além disso, observe que \(\hat{A}+\alpha +\beta =180^{\circ}\) (ângulo raso). Assim, das informações anteriores concluímos que \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\).
Exemplo 2
- Hipótese: “a” e “b” \(\in \mathbb{R}_{+}\)
- Tese: \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
- Demonstração:
Começamos negando a tese até chegar em algum absurdo, observe:
\(\frac{a+b}{2}< \sqrt{ab}\rightarrow a+b< 2\sqrt{ab}\rightarrow a-2\sqrt{ab}+b< 0\rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}< 0\)
Nota-se que a conclusão é um absurdo, já que nenhum número real ao quadrado pode ser negativo. Assim, \(\frac{a+b}{2}< \sqrt{ab}\) é falso e \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\) é verdadeiro.
Exercício de fixação
Exercícios sobre Hipótese para vestibular
Quero Bolsa
Uma hipótese é:
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