Hipótese

Hipótese, na matemática, é o conjunto de condições para poder iniciar uma demonstração. É normalmente seguida de experimentação, que pode levar à verificação ou refutação desta hipótese.

A hipótese encontra-se na estruturação de um teorema, como veremos a seguir.

Podemos estruturar o teorema da seguinte forma:

Assim, percebemos que a hipótese é o primeiro passo para que seja feita alguma conclusão a respeito de um suposto teorema.

O teorema, por sua vez, está incluso no que chamamos de sistema axiomático. Vamos ver como esse sistema funciona?

Um sistema axiomático é qualquer conjunto de axiomas que podem ser ligados em conjunção para logicamente derivar teoremas. Na figura abaixo é apresentado um esquema do sistema axiomático.

Figura 1 - Esquema do sistema axiomático.

O sistema começa com os conceitos primitivos, os quais são óbvios através de uma simples observação. Os axiomas (ou postulados) são as conclusões evidentes dos conceitos primitivos. Derivando para as definições, temos que elas são informações mais elaboradas que servem como explicação para novos elementos de uma determinada teoria. Por fim, o teorema é a informação mais complexa, já que ele envolve todo o raciocínio das informações anteriores, além de possuir uma aplicação mais concreta.

Nesse sentido, todo teorema deve possuir uma explicação mais completa e detalhada, ou seja, uma demonstração.

Vamos apresentar dois exemplos para deixar o conceito de hipótese mais claro, ok? Os exemplos se darão através de demonstrações de teoremas, onde a hipótese está incluída.

Exemplo 1

• Hipótese: considere um triângulo qualquer de ângulos internos de medidas \(\hat{A}\), \(\hat{B}\) e \(\hat{C}\).
• Tese: \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\)
• Demonstração:
  Figura 2 - Exemplo do método direto.
  

Temos um triângulo ABC qualquer (definição). Vemos que \(r//\overline{BC}\) (postulado de Euclides), \(\alpha =\hat{C}\) e \(\beta =\hat{B}\) (teorema das paralelas). Além disso, observe que \(\hat{A}+\alpha +\beta =180^{\circ}\) (ângulo raso). Assim, das informações anteriores concluímos que \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\).

Exemplo 2

• Hipótese: “a” e “b” \(\in \mathbb{R}_{+}\)
• Tese: \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
• Demonstração:

Começamos negando a tese até chegar em algum absurdo, observe:

\(\frac{a+b}{2}< \sqrt{ab}\rightarrow a+b< 2\sqrt{ab}\rightarrow a-2\sqrt{ab}+b< 0\rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}< 0\)

Nota-se que a conclusão é um absurdo, já que nenhum número real ao quadrado pode ser negativo. Assim, \(\frac{a+b}{2}< \sqrt{ab}\) é falso e \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\) é verdadeiro.