Inequação

Chamamos de inequação toda desigualdade envolvendo duas expressões algébricas.

Abaixo, temos um exemplo de inequação envolvendo o sinal uma variável

$$2-3x\geq4x^{2}-6x+1$$

Podemos classificar uma inequação de várias maneiras, mas as principais, envolvendo uma única variável, são:

• Inequação do 1º grau: quando se tem a variável elevado a 1, como em
   $$5-3x\leq2$$
• Inequação do 2º grau: neste caso, a variável em questão está elevada ao quadrado, como por exemplo:
   $$4x^{2}-3x<8$$
• Inequação produto: envolvendo uma desigualdade e multiplicação:
   $$(2x-1)\cdot(x-5)\geq0$$
• Inequação quociente: do mesmo tipo que a inequação produto, porém envolvendo uma divisão:
   $$\frac{x^{2}-5x}{x-3}>0$$

Uma inequação do 1º grau, como dito anteriormente, é aquele que envolve a variável elevado a 1, como abaixo:

$$4-5x\leq8$$

O método de resolução de uma inequação do 1º grau é totalmente análogo ao aquele apresentado para se resolver uma equação do 1º grau de uma variável.

Resolvamos, assim, a inequação

$$2x-3\leq7$$

Ou seja, iremos buscar quais valores de \(x\) que, quando multiplicados por 2 e, do resultado, subtrairmos 3, obteremos um número menor ou igual a 7.

O processo consiste em isolar a variável. Para isso, como \(-3\) é negativo, passamos para o outro lado com o sinal trocado, isto é, positivo:

$$2x-3\leq7\Rightarrow2x\leq7+3$$

E somando-se:

$$2x\leq10$$

Como \(2x\) é \(2\) vezes \(x\), então o número \(2\) está multiplicando, logo, ele passa para o outro lado da desigualdade dividindo, ou seja:

$$2x\leq10\Rightarrow x\leq\frac{10}{2}$$

Que dá

$$x\leq5$$

Todos os números menores ou iguais a 5 satisfazem a desigualdade inicial.

Para escrevermos a solução de uma inequação, devemos nos atentar ao conjunto universo, que é aquele dos quais buscaremos os números que satisfazem a inequação.

Por exemplo, se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}\), então a solução seria

$$S=\{1,2,3,4,5\}$$

Porém, se o conjunto universo for o conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\), a solução seria dada por

$$S=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$$

Note agora que, se o conjunto universo for os números reais \(\mathbb{R}\), então não é possível enumerar seus elementos como feito anteriormente. Neste caso então, escrevemos:

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq5\}$$

Ou seja, o conjunto solução são todos os números reais tais que são menores ou iguais a cinco.

Na inequação do 2º grau, devemos fazer a análise de sinal da função do 2º grau correspondente. Além disso, um lado da desigualdade sempre ter que ser zero.

Para resolvermos então a inequação

$$x^{2}-5x+6\geq0$$

Tomamos a função correspondente

$$f(x)=x^{2}-5x+6$$

E encontramos as suas raízes resolvendo-se a equação

$$x^{2}-5x+6=0$$

De onde obtemos

$$x=2\quad\text{ou}\quad x=3$$

Como a função \(f\) tem seu coeficiente \(a=1>0\), então o seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima:

Ou seja, tínhamos a inequação

$$x^{2}-5x+6\geq0$$

Que remodelamos como sendo

$$f(x)\geq0$$

Onde \(f(x)\) é a função correspondente. Então o seu conjunto solução são todos os \(x\) que, ao serem substituídos na expressão da função, nos darão valores maiores ou iguais a zero.

Fazendo-se análise do sinal no gráfico da função, podemos notar que, para valores menores do que 2, o gráfico da função está acima do eixo \(x\), bem como para valores maiores do que 3:

Ou seja, para estes números, a função assume valores positivos. Do contrário, para valores que estão entre 2 e 3, a função, estando o seu gráfico abaixo do eixo \(x\), assume valores negativos:

E para \(x=2\) e \(x=3\), como são os pontos onde o gráfico da função corta o eixo \(x\), então a função é igual a zero neles.

Como desejamos que \(x^{2}-5x+6\geq0\Rightarrow f(x)\geq0\), então os pontos destacados abaixo são a solução da inequação.

Assim,

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq2\;\text{ou}\;x\geq3\}$$

A resolução de uma inequação produto ou quociente é a mesma, se atentando apenas ao fato de que, na inequação quociente, não podemos colocar no conjunto solução o valor que anula o denominador.

E, assim como na inequação do 2º grau, um dos lados da desigualdade deve ser sempre igual a zero.

O método de solução se consiste no quadro de sinais.

Para determinar assim, a solução da inequação

$$(x-1)\cdot(2-x)>0$$

Tomemos as funções correspondentes a cada termo:

$$f(x)=x-1$$

e

$$g(x)=2-x$$

Fazendo a análise do sinal de \(f\), temos que ela é uma função do 1º grau, cujo gráfico é uma reta crescente e corta o eixo \(x\) no ponto \(x=1\). Assim, para valores à direita de 1, temos que \(f\) assume valores positivos e, para valores à esquerda de 1, negativos:

E de modo semelhante, a análise do sinal de \(g\) nos dá o seguinte esquema:

Colocando-se então ambos os sinais das funções em um quadro e, na terceira linha, o sinal do produto entre elas, obtemos:

Como desejamos valores menores que zero, basta assinalarmos a parte que contém o sinal negativo no quadro:

Logo,

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid\1<x<2}$$