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Matemática

Lei dos senos

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 19/10/2018

Introdução

Consideremos um triângulo \(ABC\) conforme a figura a seguir e suponhamos que as medidas dos lados do triângulo sejam iguais a \(a, b\) e \(c\), conforme indica-se abaixo:


Note que o lado oposto ao ângulo \(\hat{A}\) é \(\bar{BC}\) cuja medida vale \(a\) , bem como os lados opostos aos ângulos \(\hat{B}\) e \(\hat{C}\) são, respectivamente, \( \bar{AC}\) e \(\bar{AB}\) de medidas \(b\) e \(c\).

A lei dos senos diz que as razões entre as medidas dos lados e do seno dos ângulos opostos são proporcionais entre si, isto é:

$$ \frac{a}{\sin\hat{A}}=\frac{b}{\sin\hat{B}}=\frac{c}{\sin\hat{C}}$$

É importante notar que a lei dos senos não faz restrição quanto às medidas dos ângulos, ou seja, eles podem ser agudos, retos ou obtusos e, portanto, ela estende o conceito de trigonometria para além do triângulo retângulo.

Evidencia-se obviamente que a lei dos senos pode ser usada em um triângulo retângulo.

Triângulo inscrito em uma circunferência

Dizemos que um triângulo é inscrito em uma circunferência se os seus vértices forem pontos dela. Na figura abaixo, o triângulo \(ABC\) está inscrito na circunferência de raio de medida igual a \(R\):


A lei dos senos, além de estabelecer uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo e dos senos dos seus ângulos internos, também envolve o valor do raio da circunferência circunscrita a um triângulo.

Deste modo, temos então que:

$$ \frac{a}{\sin\hat{A}}=\frac{b}{\sin\hat{B}}=\frac{c}{\sin\hat{C}}=2R$$

Por exemplo, se tivermos o triângulo abaixo


Para calcular o valor de \(x\), basta aplicarmos a lei dos senos:

$$\frac{10}{\sin30º}=\frac{x}{\sin45º}\Rightarrow x\cdot\sin30º=10\cdot\sin45º$$

ou seja

$$x\cdot\frac{1}{2}=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=5\sqrt{2}$$

Demonstração da lei dos senos

Vamos considerar então um triângulo \(ABC\) inscrito numa circunferência de raio \(R\), conforme ilustra a imagem abaixo.


Iremos mostrar, para o ângulo \(\hat{A}\) que

$$\frac{a}{\hat{A}}=2R$$

Para isso, tomemos o diâmetro \(BD\) abaixo.


Claramente \(BD=2r\). Além disso, os ângulos \(\hat{A}\) e \(\hat{D}\) têm a mesma medida pois eles correspondem ao mesmo arco \(_{arco}{BC}\). E ainda, \(B\hat{C}D=90º\) pois ele é um ângulo inscrito ao arco \(_{arco}{BD\}) que mede 180º.

Portanto, temos um triângulo \(BCD\) retângulo em \(C\) com \(BC=a\). Assim, pela trigonometria no triângulo retângulo, temos que:

$$\sin\hat{A}=\sin\hat{D}=\frac{a}{2R}$$

ou seja

$$\sin\hat{A}=\frac{a}{2R}\Rightarrow\frac{a}{\sin\hat{A}}=2R$$

O processo para os outros dois ângulos é o mesmo de onde se conclui a demonstração da lei dos senos.

Fórmulas


Exercícios

Exercício 1
(UNICAMP-adaptada)

Observadores nos pontos \(A\) e \(B\) localizam um foco de incêndio florestal em \(F\). Conhecendo os ângulos \(F\hat{A}B=45º\) e \(F\hat{B}A=105º\) e a distância \(AB=15km\), determinar a distância \(BF\).

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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