Consideremos um triângulo \(ABC\) conforme a figura a seguir e suponhamos que as medidas dos lados do triângulo sejam iguais a \(a, b\) e \(c\), conforme indica-se abaixo:
Note que o lado oposto ao ângulo \(\hat{A}\) é \(\bar{BC}\) cuja medida vale \(a\) , bem como os lados opostos aos ângulos \(\hat{B}\) e \(\hat{C}\) são, respectivamente, \( \bar{AC}\) e \(\bar{AB}\) de medidas \(b\) e \(c\).
A lei dos senos diz que as razões entre as medidas dos lados e do seno dos ângulos opostos são proporcionais entre si, isto é:
$$ \frac{a}{\sin\hat{A}}=\frac{b}{\sin\hat{B}}=\frac{c}{\sin\hat{C}}$$
É importante notar que a lei dos senos não faz restrição quanto às medidas dos ângulos, ou seja, eles podem ser agudos, retos ou obtusos e, portanto, ela estende o conceito de trigonometria para além do triângulo retângulo.
Evidencia-se obviamente que a lei dos senos pode ser usada em um triângulo retângulo.
Triângulo inscrito em uma circunferência
Dizemos que um triângulo é inscrito em uma circunferência se os seus vértices forem pontos dela. Na figura abaixo, o triângulo \(ABC\) está inscrito na circunferência de raio de medida igual a \(R\):
A lei dos senos, além de estabelecer uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo e dos senos dos seus ângulos internos, também envolve o valor do raio da circunferência circunscrita a um triângulo.
Deste modo, temos então que:
$$ \frac{a}{\sin\hat{A}}=\frac{b}{\sin\hat{B}}=\frac{c}{\sin\hat{C}}=2R$$
Por exemplo, se tivermos o triângulo abaixo
Para calcular o valor de \(x\), basta aplicarmos a lei dos senos:
$$\frac{10}{\sin30º}=\frac{x}{\sin45º}\Rightarrow x\cdot\sin30º=10\cdot\sin45º$$
ou seja
$$x\cdot\frac{1}{2}=10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=5\sqrt{2}$$