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Matemática

O Pi

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 11/5/2019

Introdução

Até hoje, o número pi, representado pela letra grega \(\pi\), intriga muitos matemáticos e pesquisadores da área. Sendo considerado um número irracional e de infinitas casas decimais, os matemáticos ainda não compreenderam 100% do seu funcionamento. 

Mesmo assim, há muitas coisas interessantes e importantes para conhecer sobre o pi. Vamos entendê-las?

Definição

O número pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, ou seja:

\(\pi=\frac{C}{D}\)

Na Antiguidade, alguns povos encontravam problemas quando tentavam medir o perímetro de uma circunferência (ou seja, o seu comprimento). Esses problemas eram causados justamente por causa do valor infinito de pi.

O valor de pi

Comumente, os vestibulares e as provas de Ensino Médio costumam indicar para que o aluno utilize pi como igual aos seguintes valores:

\(\pi=3 \qquad \pi=3,1 \qquad \pi=3,14\)

Porém, é muito importante saber que o pi possui infinitas casas decimais. Ou seja, depois do 3,14, ainda há muitas casas deste número. Contudo, é utilizado a aproximação de pi para 3,14 como forma de simplificar os cálculos por parte do aluno.

Para dar uma ideia melhor, abaixo está o pi com 20 casas decimais:

\(\pi=3,14159265358979323846…\)

Existem diversas pesquisas e pessoas interessadas em conhecer cada vez mais o pi, como foi dito na introdução deste texto. Por exemplo, dois engenheiros, Alexander Yee e Shigeru Kondo, calcularam em 2011 os dez primeiros trilhões de casas decimais do pi!

É um número bem impressionante, concorda? Para deixar mais claro o esforço do trabalho deles, foi usado um computador para realizar esse cálculo, sendo que esse computador demorou aproximadamente um ano para completar a tarefa.

Métodos de cálculo

Existem várias maneiras de calcular o valor de pi (ou melhor, o valor aproximado de pi, já que ele possui infinitas casas decimais, certo?). Vamos apresentar as principais e mais conhecidas delas.

Método clássico

Uma das primeiras e melhores tentativas de se calcular o pi foi feita por Arquimedes, na Antiguidade. Através de polígonos inscritos e circunscritos, Arquimedes encontrou valores de pi entre 3,1408 e 3,1429.

Método de séries infinitas

Alguns matemáticos descobriram que determinadas séries infinitas podem ser usadas para calcular o valor de pi.

  • François Viète: desenvolveu a seguinte série, em 1593:

    \(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdot ...=\frac{2}{\pi}\)
  • John Wallis: desenvolveu sua série infinita em 1655:

    \(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot ...=\frac{\pi}{2}\)

Existem, além das duas séries citadas, as séries de Leibniz e Johann Heinrich Lambert.

Fórmulas que dependem de pi

Alguns fórmulas têm em sua composição o uso do pi. Vejamos os principais exemplos:

  • Perímetro de uma circunferência: \(C=2\cdot \pi\cdot r\)
  • Área do círculo: \(A=\pi\cdot r^{2}\)
  • Superfície da esfera: \(V=4\cdot \pi\cdot r^{2}\)
  • Volume de uma esfera: \(V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^{3}\)

Curiosidades

  • Em decorrência do valor de pi possuir infinitas casas decimais, sempre que o cálculo de uma área for feito, ele nunca será exato, ou seja, será um valor aproximado, pois na conta foi usado um valor aproximado para pi.
  • Existe o dia do pi, o qual é comemorado no dia 14/03. Como nos Estados Unidos o mês é indicado antes do dia (03/14), a data faz referência ao 3,14 do pi.
  • Em 1650 A.C., os egípcios tinham descoberto apenas 1 casa decimal de pi. Hoje em dia, já foram descobertas 8 quadrilhões.

Exercícios

Exercício 1
(Quero Bolsa)

Qual o valor aproximado de pi?

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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