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Uma Progressão Aritmética, ou PA é uma progressão em que cada termo é igual ao anterior somado de uma razão \(r\).
$$a_1,\quad a_1+r,\quad a_1+2r$$
Para encontrar o valor da razão \(r\), basta subtrair um termo pelo seu anterior.
\(5,7,9,11,13,…\)
É uma PA de termo inicial \(a_1 = 5\) e razão \(r = 2\).
\(9,5,1,-3,-7,...\)
É uma PA de termo inicial \(a_1 = 9\) e razão \(r = -4\).
O termo geral (ou ‘n’ésimo termo) da PA pode ser escrito como:
$$a_n = a_1 + (n-1).r$$
É fácil ver isso, pois:
$$a_2 = a_1 + r$$
$$a_3 = a_1 + 2r$$
$$a_4 = a_1 + 3r$$
etc
Sua demonstração formal é por indução, saindo do ‘n’ésimo termo:
$$a_n = a_1 + (n-1).r$$
$$\implies a_{n+1} = a_0 + (n-1).r + r$$
$$\implies a_{n+1} = a_0 + n.r$$
Ou seja, se vale para ‘n’, vale para ‘n+1’ também.
Assim, como a fórmula funciona para \(a_1\), vale para \(a_2\) também. Como vale para \(a_2\), vale para \(a_3\), e assim por diante, então vale para todos os termos da progressão aritmética.
Qual o décimo termo da progressão aritmética: \(8,11,14,17,20,…\) ?
$$a_1 = 8$$
$$r = 11 - 8 = 3$$
$$a_{10} = a_1 + (n - 1).r$$
$$\implies a_{10} = 8 + (10 - 1).3 = 8 + 9.3 = 35$$
Em uma PA, o termo que fica exatamente no meio de dois termos é a média aritmética desses. Por exemplo,
$$a_4 = \frac{a_3 + a_5}{2}$$
ou
$$a_4 = \frac{a_1 + a_7}{2}$$
Generalizando,
$$a_{n+k} = \frac{a_n + a_{n+2k}}{2}$$
Pra demonstrar, basta usar o termo geral da PA e ver que é verdade.
Lado esquerdo:
$$a_{n+k} = a_0 + (n+k-1).r$$
Lado direito:
$$\frac{a_n+a_{n+2k}}{2} = \frac{a_0 + (n-1).r + a_0 + (n + 2k - 1).r}{2} = a_0 + (n + k - 1).r$$
11 , x , y, 26, 31 estão em uma progressão aritmética (PA).
Qual o valor de y?
Em vez de encontrar o valor da razão, podemos fazer:
$$y = \frac{11 + 31}{2} = 21$$
pois y é o termo do meio entre o 11 e 31.
Saber como calcular o termo do meio da PA nos poupa tempo, já que não precisamos calcular o valor da razão, nem de outros termos.
Há uma lenda sobre a fórmula da soma dos termos da PA. Essa lenda nos ajuda a entender a sua fórmula.
A lenda diz que o matemático Gauss, quando criança, estava em uma aula de matemática. Na época ele sabia apenas de operações básicas, como soma e multiplicação.
Seu professor, para ganhar tempo, mandou os alunos da sala somarem todos os números inteiros de 1 a 100. Somando um a um, demoraria muito tempo, mas Gauss percebeu que se somasse: \(1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ..., 50+51=101\); todas essas somas davam 101, e existiam 50 delas (do 1 ao 50). Com isso, Gauss fez 101*50=5050 e resolveu o problema com rapidez.
Essa ideia, que é baseada no termo do meio, é usada para calcular a soma dos termos da PA. Pegamos o primeiro termo, somamos com o último, e multiplicamos pelo número de termos sobre 2.
$$S_n = \frac{(a_1 + a_n).n}{2}$$
PA:
$$5,7,9,11,13,...$$
Qual o valor da soma dos termos até o 21°?
$$a_1 = 5$$
$$r = 2$$
$$a_21 = a_1 + 20.r = 5 + 40 = 45$$
$$\implies S_{21} = \frac{(a_1 + a_21).21}{2} = \frac{(5 + 45).21}{2} = 525$$
Em um trabalho escolar, João foi convidado a calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da esquerda para a direita, como mostra a figura.
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1 cm, o segundo quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro quadrado tem lado medindo 3 cm e assim por diante. O objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que ocupa a posição \(n\), na sequência, foi representada por \(A_n\).
Para \(n ≥ 2\), o valor da diferença \(A_n - A_{n-1}\), em centímetro quadrado, é igual a
