Progressão Aritmética (PA): fórmula, termo geral e soma

Uma Progressão Aritmética, ou PA, é uma progressão em que cada termo é igual ao anterior somado de uma razão \(r\).

$$a_1,\quad a_1+r,\quad a_1+2r$$

Para encontrar o valor da razão \(r\), basta subtrair um termo pelo seu anterior.

Exemplos de PA

\(5,7,9,11,13,…\)

É uma PA de termo inicial \(a_1 = 5\) e razão \(r = 2\).

\(9,5,1,-3,-7,...\)

É uma PA de termo inicial \(a_1 = 9\) e razão \(r = -4\).

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Uma das principais propriedades de uma progressão aritmética é que a soma dos termos equidistantes em relação às extremidades é sempre constante. Por exemplo, em uma PA finita, o primeiro termo somado ao último resulta no mesmo valor que o segundo somado ao penúltimo, e assim sucessivamente. Essa característica foi usada por matemáticos como Gauss para calcular somas de longas sequências rapidamente.

Outra propriedade importante é a média aritmética entre termos vizinhos. Em uma PA, qualquer termo situado entre outros dois pode ser calculado como a média dos seus vizinhos imediatos. Isso facilita a resolução de questões em que o termo do meio precisa ser identificado sem necessariamente conhecer toda a sequência.

Por fim, existe a propriedade de interpolação aritmética, em que novos termos podem ser inseridos em uma sequência já existente, desde que respeitem a razão estabelecida. Essa técnica é bastante útil para modelar situações do cotidiano ou ajustar progressões a problemas práticos.

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O termo geral (ou ‘n’ésimo termo) da PA pode ser escrito como:

$$a_n = a_1 + (n-1).r$$

É fácil ver isso, pois:

$$a_2 = a_1 + r$$

$$a_3 = a_1 + 2r$$

$$a_4 = a_1 + 3r$$

etc

Sua demonstração formal é por indução, saindo do ‘n’ésimo termo:

$$a_n = a_1 + (n-1).r$$

$$\implies a_{n+1} = a_0 + (n-1).r + r$$

$$\implies a_{n+1} = a_0 + n.r$$

Ou seja, se vale para ‘n’, vale para ‘n+1’ também.

Assim, como a fórmula funciona para \(a_1\), vale para \(a_2\) também. Como vale para \(a_2\), vale para \(a_3\), e assim por diante, então vale para todos os termos da progressão aritmética.

Exemplo de Termo Geral da PA

Qual o décimo termo da progressão aritmética: \(8,11,14,17,20,…\) ?

$$a_1 = 8$$

$$r = 11 - 8 = 3$$

$$a_{10} = a_1 + (n - 1).r$$

$$\implies a_{10} = 8 + (10 - 1).3 = 8 + 9.3 = 35$$

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Em uma PA, o termo que fica exatamente no meio de dois termos é a média aritmética desses. Por exemplo,

$$a_4 = \frac{a_3 + a_5}{2}$$

ou

$$a_4 = \frac{a_1 + a_7}{2}$$

Generalizando,

$$a_{n+k} = \frac{a_n + a_{n+2k}}{2}$$

Pra demonstrar, basta usar o termo geral da PA e ver que é verdade.

Lado esquerdo:

$$a_{n+k} = a_0 + (n+k-1).r$$

Lado direito:

$$\frac{a_n+a_{n+2k}}{2} = \frac{a_0 + (n-1).r + a_0 + (n + 2k - 1).r}{2} = a_0 + (n + k - 1).r$$

Exemplo de Termo do Meio da PA

11 , x , y, 26, 31 estão em uma progressão aritmética (PA).

Qual o valor de y?

Em vez de encontrar o valor da razão, podemos fazer:

$$y = \frac{11 + 31}{2} = 21$$

pois y é o termo do meio entre o 11 e 31.

Saber como calcular o termo do meio da PA nos poupa tempo, já que não precisamos calcular o valor da razão, nem de outros termos.

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Há uma lenda sobre a fórmula da soma dos termos da PA. Essa lenda nos ajuda a entender a sua fórmula.

A lenda diz que o matemático Gauss, quando criança, estava em uma aula de matemática. Na época ele sabia apenas de operações básicas, como soma e multiplicação.

Seu professor, para ganhar tempo, mandou os alunos da sala somarem todos os números inteiros de 1 a 100. Somando um a um, demoraria muito tempo, mas Gauss percebeu que se somasse: \(1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ..., 50+51=101\); todas essas somas davam 101, e existiam 50 delas (do 1 ao 50). Com isso, Gauss fez 101*50=5050 e resolveu o problema com rapidez.

Essa ideia, que é baseada no termo do meio, é usada para calcular a soma dos termos da PA. Pegamos o primeiro termo, somamos com o último, e multiplicamos pelo número de termos sobre 2.

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n).n}{2}$$

Exemplo da Soma dos Termos da PA

PA:

$$5,7,9,11,13,...$$

Qual o valor da soma dos termos até o 21°?

$$a_1 = 5$$

$$r = 2$$

$$a_21 = a_1 + 20.r = 5 + 40 = 45$$

$$\implies S_{21} = \frac{(a_1 + a_21).21}{2} = \frac{(5 + 45).21}{2} = 525$$

A classificação de uma progressão aritmética depende do valor da razão (r). Quando r é positivo, a sequência é considerada crescente, pois cada termo é maior que o anterior. Esse tipo de P.A. aparece em situações como aumento de salários anuais ou crescimento populacional em ritmo constante.

Já quando r é negativo, a P.A. é classificada como decrescente, com cada termo sendo menor que o anterior. Esse comportamento pode representar, por exemplo, a depreciação de um bem ao longo do tempo ou a contagem regressiva de um evento.

Por fim, se a razão r for igual a zero, a progressão é chamada de constante, em que todos os termos da sequência são iguais. Embora pareça simples, esse tipo de P.A. também tem aplicações práticas, como em tabelas ou séries que precisam manter valores fixos.

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).