Progressão Aritmética (PA): fórmula, termo geral e soma

Uma Progressão Aritmética, ou PA é uma progressão em que cada termo é igual ao anterior somado de uma razão \(r\).

$$a_1,\quad a_1+r,\quad a_1+2r$$

Para encontrar o valor da razão \(r\), basta subtrair um termo pelo seu anterior.

Exemplos de PA

\(5,7,9,11,13,…\)

É uma PA de termo inicial \(a_1 = 5\) e razão \(r = 2\).

\(9,5,1,-3,-7,...\)

É uma PA de termo inicial \(a_1 = 9\) e razão \(r = -4\).

O termo geral (ou ‘n’ésimo termo) da PA pode ser escrito como:

$$a_n = a_1 + (n-1).r$$

É fácil ver isso, pois:

$$a_2 = a_1 + r$$

$$a_3 = a_1 + 2r$$

$$a_4 = a_1 + 3r$$

etc

Sua demonstração formal é por indução, saindo do ‘n’ésimo termo:

$$a_n = a_1 + (n-1).r$$

$$\implies a_{n+1} = a_0 + (n-1).r + r$$

$$\implies a_{n+1} = a_0 + n.r$$

Ou seja, se vale para ‘n’, vale para ‘n+1’ também.

Assim, como a fórmula funciona para \(a_1\), vale para \(a_2\) também. Como vale para \(a_2\), vale para \(a_3\), e assim por diante, então vale para todos os termos da progressão aritmética.

Exemplo de Termo Geral da PA

Qual o décimo termo da progressão aritmética: \(8,11,14,17,20,…\) ?

$$a_1 = 8$$

$$r = 11 - 8 = 3$$

$$a_{10} = a_1 + (n - 1).r$$

$$\implies a_{10} = 8 + (10 - 1).3 = 8 + 9.3 = 35$$

Em uma PA, o termo que fica exatamente no meio de dois termos é a média aritmética desses. Por exemplo,

$$a_4 = \frac{a_3 + a_5}{2}$$

ou

$$a_4 = \frac{a_1 + a_7}{2}$$

Generalizando,

$$a_{n+k} = \frac{a_n + a_{n+2k}}{2}$$

Pra demonstrar, basta usar o termo geral da PA e ver que é verdade.

Lado esquerdo:

$$a_{n+k} = a_0 + (n+k-1).r$$

Lado direito:

$$\frac{a_n+a_{n+2k}}{2} = \frac{a_0 + (n-1).r + a_0 + (n + 2k - 1).r}{2} = a_0 + (n + k - 1).r$$

Exemplo de Termo do Meio da PA

11 , x , y, 26, 31 estão em uma progressão aritmética (PA).

Qual o valor de y?

Em vez de encontrar o valor da razão, podemos fazer:

$$y = \frac{11 + 31}{2} = 21$$

pois y é o termo do meio entre o 11 e 31.

Saber como calcular o termo do meio da PA nos poupa tempo, já que não precisamos calcular o valor da razão, nem de outros termos.

Há uma lenda sobre a fórmula da soma dos termos da PA. Essa lenda nos ajuda a entender a sua fórmula.

A lenda diz que o matemático Gauss, quando criança, estava em uma aula de matemática. Na época ele sabia apenas de operações básicas, como soma e multiplicação.

Seu professor, para ganhar tempo, mandou os alunos da sala somarem todos os números inteiros de 1 a 100. Somando um a um, demoraria muito tempo, mas Gauss percebeu que se somasse: \(1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ..., 50+51=101\); todas essas somas davam 101, e existiam 50 delas (do 1 ao 50). Com isso, Gauss fez 101*50=5050 e resolveu o problema com rapidez.

Essa ideia, que é baseada no termo do meio, é usada para calcular a soma dos termos da PA. Pegamos o primeiro termo, somamos com o último, e multiplicamos pelo número de termos sobre 2.

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n).n}{2}$$

Exemplo da Soma dos Termos da PA

PA:

$$5,7,9,11,13,...$$

Qual o valor da soma dos termos até o 21°?

$$a_1 = 5$$

$$r = 2$$

$$a_21 = a_1 + 20.r = 5 + 40 = 45$$

$$\implies S_{21} = \frac{(a_1 + a_21).21}{2} = \frac{(5 + 45).21}{2} = 525$$