O produto misto nada mais é do que uma operação de produto vetorial, seguida de uma operação de produto escalar. Dessa forma, o resultado final é um escalar.
Essa operação nos dá o volume do paralelepípedo formado com base em três vetores.
O produto misto é representado da seguinte forma:
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$
A ordem não importa - o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores será sempre o mesmo.
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {b}\cdot \left( \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {c}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}\right) $$
Exemplo
Vamos calcular o produto misto dos três vetores a seguir:
$$ \overrightarrow {a}=\left( 1,2,3\right) $$
$$ \overrightarrow {b}=\left( 1,−2,2\right) $$
$$ \overrightarrow {c}=\left( −1,1,2\right) $$
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$
Calculando primeiro o produto vetorial,
$$ D=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & −2 & 2 \\ −1 & 1 & 2 \end{vmatrix} $$
$$ D=−6i−4j−k $$
Portanto,
$$ \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}=\left( −6,−4,−1\right) $$
Fazendo o produto escalar, obtemos a resposta final:
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right)=\left( −6,−8,−3\right) $$
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