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Produto vetorial: veja como calcular
Matemática - Manual do Enem
Índice
Introdução
O produto vetorial, simbolizado por ×, é como um mágico da matemática. Ao operar em dois vetores, ele faz surgir um terceiro vetor que se destaca, ficando perpendicular aos dois iniciais. Imagine dois caminhos cruzando-se e uma placa surgindo exatamente onde eles se encontram.
O produto vetorial entre vetores de módulo u e v é representado da seguinte forma:
$$ \overrightarrow {u}\times \overrightarrow {v} $$
Essa expressão pode ser lida como “u vetorial v”.
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Como calcular o produto vetorial?
O cálculo do produto vetorial entre dois vetores e em um espaço tridimensional envolve matemática vetorial e o uso de determinantes. Vamos ver o procedimento passo a passo:
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Representação dos Vetores: Suponha que os vetores sejam: e .
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Configuração do Determinante: O produto vetorial é encontrado calculando o determinante da seguinte matriz 3x3:
- Cálculo do Determinante: O determinante da matriz acima é calculado da seguinte forma:
Aqui:
- , , e são os vetores unitários nas direções x, y, e z, respectivamente.
Para que serve o cálculo vetorial?
Usando cálculo vetorial, podemos simplificar um sistema de vetores em um vetor resultante. Imagine ter uma força de 12 N à direita e outra de 7 N à esquerda; a soma vetorial nos dá um total de 5 N à direita.
Aqui estão algumas das principais finalidades e aplicações do cálculo vetorial:
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Física:
- Mecânica: Para descrever movimentos em três dimensões, como a trajetória de um projétil ou o movimento de planetas.
- Eletromagnetismo: No estudo de campos elétricos e magnéticos, o cálculo vetorial é fundamental. As famosas equações de Maxwell, que descrevem como esses campos se comportam, são formuladas usando o cálculo vetorial.
- Hidrodinâmica: Para descrever o movimento de fluidos.
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Engenharia:
- Análise de Estruturas: Ao avaliar forças em estruturas tridimensionais, como pontes e edifícios.
- Aerodinâmica: No estudo de como o ar flui ao redor de objetos, como asas de avião.
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Informática:
- Gráficos em Computador: Para renderização 3D, animações e simulações.
- Realidade Virtual e Jogos: Para criar e manipular objetos em um ambiente tridimensional.
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- Geometria Analítica e Espacial: Para estudar a posição, direção e espaço entre objetos em três dimensões.
- Cálculo Multivariável: Integração e diferenciação de funções vetoriais.
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Biologia e Medicina:
- Neuroimagem: No processamento e análise de imagens de ressonância magnética, por exemplo, para identificar direções de fibras nervosas no cérebro.
- Dinâmica de Fluidos Biológicos: Como no estudo da circulação sanguínea.
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Economia e Ciências Sociais:
- Teoria dos Jogos: Em modelos que envolvem estratégias espaciais e posicionamento.
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Para que serve o cálculo vetorial?
O produto vetorial possui propriedades que podem auxiliar nos cálculos. Veja abaixo:
$$ \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=−\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a} $$
$$ \left( k\overrightarrow {a}\right) \times \overrightarrow {b}=\overrightarrow {a}\times \left( k\overrightarrow {b}\right) $$
$$ \left( \overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right) \times \overrightarrow {c}=\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}+\overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c} $$
Propriedades do produto vetorial
O produto misto nada mais é do que uma operação de produto vetorial, seguida de uma operação de produto escalar. Dessa forma, o resultado final é um escalar.
Essa operação nos dá o volume do paralelepípedo formado com base em três vetores.
O produto misto é representado da seguinte forma:
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$
A ordem não importa - o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores será sempre o mesmo.
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {b}\cdot \left( \overrightarrow {a}\times \overrightarrow {c}\right) = \overrightarrow {c}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {a}\right) $$
Exemplo
Vamos calcular o produto misto dos três vetores a seguir:
$$ \overrightarrow {a}=\left( 1,2,3\right) $$
$$ \overrightarrow {b}=\left( 1,−2,2\right) $$
$$ \overrightarrow {c}=\left( −1,1,2\right) $$
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right) $$
Calculando primeiro o produto vetorial,
$$ D=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & −2 & 2 \\ −1 & 1 & 2 \end{vmatrix} $$
$$ D=−6i−4j−k $$
Portanto,
$$ \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}=\left( −6,−4,−1\right) $$
Fazendo o produto escalar, obtemos a resposta final:
$$ \overrightarrow {a}\cdot \left( \overrightarrow {b}\times \overrightarrow {c}\right)=\left( −6,−8,−3\right) $$
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Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se k for igual a: