Racionalização: o que é e como fazer

A racionalização é o processo pelo qual “retiramos” o radical do denominador de uma fração. 

Há basicamente três métodos para tal, dependendo de qual raiz se encontra na fração: raiz quadrada, raiz de índice maior que 2, soma ou subtração envolvendo raízes.

Racionalização é o processo matemático utilizado para eliminar radicais do denominador de frações. Isso é feito multiplicando numerador e denominador por um termo adequado, resultando numa expressão equivalente sem raízes no denominador. Por exemplo, para racionalizar 1/√2, multiplica-se por √2/√2, obtendo-se √2/2.

Consideremos para o nosso exemplo a fração

$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

No caso em que se encontra uma raiz quadrada no denominador, devemos multiplicar em cima e embaixo pela mesma raiz,  isto é:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

Ao fazermos isso, no numerador teremos

$$1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}$$

Enquanto no denominador teremos

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2^{2}}=2$$

ou seja:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Tomemos a fração

$$\frac{3}{\sqrt[5]{4^{3}}}$$

Prosseguiremos multiplicando em cima e embaixo por um mesmo número (a fim de manter a igualdade). Neste caso, este número será

$$\sqrt[5]{4^{2}}$$

o qual veio do denominador inicial \(sqrt[5]{4}^{3}\) de modo que subtraímos o índice da raiz (5) do expoente do radicando (3), obtendo um novo expoente (2).

Obtemos então

$$\frac{3}{\sqrt[5]{4}^{3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{4}^{2}}{\sqrt[5]{4}^{2}}$$

Em cima, fica

$$3\cdot\sqrt[5]{4}^{2}=3\sqrt[5]{4}^{2}$$

e embaixo

$$\sqrt[5]{4}^{3}\cdot\sqrt[5]{4}^{2}=\sqrt[5]{4}^{3}\cdot{4}^{2}=\sqrt[5]{4}^{3+2}=\sqrt[5]{4}^{5}=4$$

isto é

$$\frac{3}{\sqrt[5]{4}^{3}}=\frac{3\sqrt[5]{4}^{2}}{4}$$

Neste caso, sempre multiplicaremos em cima e embaixo pelos mesmos termos, mudando apenas o sinal.

Isto é, tomando-se a fração

$$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$$

a multiplicação será por

$$\sqrt{3}+1$$

ou seja, mantivemos os números envolvidos e trocamos o sinal, de menos para mais. Fazemos isto pois iremos nos deparar com uma diferença de quadrados.

Multiplicando-se então o numerador, temos

$$1\cdot(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}+1$$

Enquanto que no denominador, chegamos a

$$(\sqrt{3}-1)\cdot(\sqrt{3}+1)$$

o qual é o produto da soma pela diferença de dois termos, resultando na diferença dos quadrados deles, ou seja:

$$(\sqrt{3}-1)\cdot(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3-1=2$$

eliminando-se assim o radical do denominador da fração inicial. Concluindo, temos:

$$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

A Matemática do Ensino médio, Elon Lages Lima - SBM