Raiz Quadrada

Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática.

Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”.

 \(\sqrt[2]{n}=a\) , com “n” e “a” \(\geq n=a^{2}\)

Na raiz acima, temos o radical \(\sqrt{ }\), o índice do radical (que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2) e o radicando (número “n”).

Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2.

    Vamos ver alguns exemplos:

• \(\sqrt{4}=2\)
• \(\sqrt{9}=3\)
• \(\sqrt{16}=4\)
• \(\sqrt{25}=5\)
• \(\sqrt{36}=6\)
• \(\sqrt{49}=7\)
• \(\sqrt{64}=8\)
• \(\sqrt{81}=9\)
• \(\sqrt{100}=10\)

É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \((-2)^{2}=4\)  e  \((-3)^{2}=9\), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada.

Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5.

A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona!

Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação! 

Em relação a divisão e multiplicação

A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação:

\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\)

Em relação a soma e subtração

Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes:

\(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\)

Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas.

Raiz dentro de raiz

Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz:

\(\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\)

De raiz quadrada para potência

Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!).

\(\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\)

Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o 2) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”).

Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil (como é o caso das raízes \(\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\) por exemplo). Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios. 

Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é:

1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt{400}\).

2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor:

Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.

Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).

Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento.

As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau (com Bhaskara) até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes.

Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!