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Índice
Introdução
Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática.
Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”.
\(\sqrt[2]{n}=a\) , com “n” e “a” \(\geq n=a^{2}\)
Na raiz acima, temos o radical \(\sqrt{ }\), o índice do radical (que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2) e o radicando (número “n”).
Principais conclusões
- Raiz quadrada de um número n é o número não negativo que, ao ser multiplicado por si mesmo, resulta em n; escreve‑se √n (índice 2 omitido), satisfazendo √[2]{n}=a com n=a^2, onde √ é o radical e n o radicando.
- Propriedades técnicas: √(ab)=√a·√b e √(a/b)=√a/√b; não distribui sobre soma ou subtração (√(a±b)≠√a±√b); raiz aninhada multiplica índices (√√a=√[4]{a}) e √(x^p)=x^{p/2}; resultado principal é ≥0.
- Contexto histórico e científico: raízes surgem na geometria (Teorema de Pitágoras), na resolução de equações do 2º grau e em modelos de engenharia; a convenção da raiz principal (não negativa) preserva coerência geométrica e algebraica nas aplicações.
- Evite erros comuns nas provas: escrever √n=±a, aceitar raiz negativa ou distribuir raiz sobre soma; relacione exercícios com álgebra, geometria e física e prefira simplificar radicais ou converter para potência antes de calcular.
- Relevância prática: calcule raízes não exatas por fatoração em primos e multiplicação de pares, simplifique radicais e use √x como x^{1/2} para manipular expressões; aplica‑se ao cálculo de distâncias, soluções quadráticas e fórmulas em engenharia.
Características
Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2.
Vamos ver alguns exemplos:
- \(\sqrt{4}=2\)
- \(\sqrt{9}=3\)
- \(\sqrt{16}=4\)
- \(\sqrt{25}=5\)
- \(\sqrt{36}=6\)
- \(\sqrt{49}=7\)
- \(\sqrt{64}=8\)
- \(\sqrt{81}=9\)
- \(\sqrt{100}=10\)
É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \((-2)^{2}=4\) e \((-3)^{2}=9\), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada.
Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5.
Propriedades envolvendo a raiz quadrada
A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona!
Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação!
Em relação a divisão e multiplicação
A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\)
Em relação a soma e subtração
Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes:
\(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\)
Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas.
Raiz dentro de raiz
Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz:
\(\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\)
De raiz quadrada para potência
Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!).
\(\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\)
Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o 2) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”).
Cálculo da raiz quadrada
Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil (como é o caso das raízes \(\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\) por exemplo). Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios.
Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é:
1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt{400}\).
2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor:
Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.
Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).
Por que a raiz quadrada é importante?
Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento.
As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau (com Bhaskara) até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes.
Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Raiz Quadrada para vestibular
UEMA
O valor da raiz quadrada \(\sqrt[2]{0,444...}\) é:
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