Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é construído a partir de números binomiais. Para relembrar, um número binomial é definido por:

\(\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}\), sendo que \(n\geq p\)

Além disso, os valores de “n” e “p” devem ser inteiros e não negativos. 

Explicado isso, podemos apresentar, de fato, o triângulo de Pascal. Ele é feito a partir dos números binomiais \(\binom{i}{j}\) em forma matricial, sendo “i” o número da linha e “j” o número da coluna. 

Triângulo de Pascal

Podemos, então, calcular esses números binomiais, observe:

Cálculo dos binomiais do triângulo de Pascal.

Ok, você deve estar se perguntando o que tem de tão interessante neste triângulo. O próximo tópico vai te mostrar!

O triângulo de Pascal possui diversas propriedades, vamos ver quais são elas.

Sequências binomiais

Uma sequência binomial é uma sequência finita composta pelos elementos de uma linha do triângulo de Pascal. Para essas sequências, temos:

• Elas são simétricas, portanto, os termos equidistantes dos extremos são iguais (o que chamamos neste caso de binomiais complementares).
• Quando “n” é par, o termo central da sequência é máximo e ela cresce do 1º termo até o termo máximo, decrescendo do termo máximo até o último termo.
• Quando “n” é ímpar, os dois termos médios são máximos. Então a sequência cresce até eles e decresce deles até o final.

Exemplos:

\(1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1 \qquad (n=4)\)

\(1 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 10 \qquad 5 \qquad 1 \qquad (n=5)\)

Perceba também que, pela explicação acima, podemos dizer que:

\(\binom{20}{10}> \binom{20}{8} \qquad \qquad \binom{30}{15}> \binom{30}{21}\)

Relação de Stifel

Essa relação enuncia que a soma de dois números binomiais consecutivos de uma linha é igual ao número que está abaixo do da direita. Matematicamente, temos:

\(\binom{n}{p-1}+\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p}\)

Exemplos:

2+1=3

6+4=10

Teorema das colunas

Os números binomiais somados de uma mesma coluna, desde o primeiro termo até um termo qualquer, são iguais ao número binomial localizado imediatamente abaixo, na coluna à direita da qual soma-se os elementos. Matematicamente, temos:

\(\sum_{i=0}^{p}\binom{n+i}{n}=\binom{n+p+1}{n+1}\)

Exemplo:

1+3+6=10

Teorema das linhas

Os elementos de uma linha somados são iguais a potência de 2, com o expoente sendo o índice da linha. Matematicamente:

\(\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}=2^{n}\)

Exemplo:

\(\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=1+4+6+4+1=2^{4}\)

Teorema das diagonais

Os números binomiais localizados na mesma diagonal somados, desde a coluna zero até uma coluna qualquer, são iguais ao binomial imediatamente abaixo, na mesma coluna. Matematicamente:

\(\sum_{i=0}^{p}\binom{n+i}{i}=\binom{n+p+1}{p}\)

Exemplo:

1+3+6=10

O triângulo de Pascal se relaciona fortemente com o que chamamos de binômio de Newton. Estes dois conteúdos facilitam e ajudam no desenvolvimento de potências binomiais, ou seja, no desenvolvimento de expressões matemáticas. Além disso, usa-se regularmente o triângulo de Pascal em estudos de probabilidade.

Uma curiosidade sobre este triângulo é que, embora ele leve o nome de Blaise Pascal (célebre físico, matemático, filósofo e teólogo), outros povos já o utilizavam, como os chineses, indianos e italianos.