O triângulo de Pascal possui diversas propriedades, vamos ver quais são elas.
Sequências binomiais
Uma sequência binomial é uma sequência finita composta pelos elementos de uma linha do triângulo de Pascal. Para essas sequências, temos:
- Elas são simétricas, portanto, os termos equidistantes dos extremos são iguais (o que chamamos neste caso de binomiais complementares).
- Quando “n” é par, o termo central da sequência é máximo e ela cresce do 1º termo até o termo máximo, decrescendo do termo máximo até o último termo.
- Quando “n” é ímpar, os dois termos médios são máximos. Então a sequência cresce até eles e decresce deles até o final.
Exemplos:
\(1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4 \qquad 1 \qquad (n=4)\)
\(1 \qquad 5 \qquad 10 \qquad 10 \qquad 5 \qquad 1 \qquad (n=5)\)
Perceba também que, pela explicação acima, podemos dizer que:
\(\binom{20}{10}> \binom{20}{8} \qquad \qquad \binom{30}{15}> \binom{30}{21}\)
Relação de Stifel
Essa relação enuncia que a soma de dois números binomiais consecutivos de uma linha é igual ao número que está abaixo do da direita. Matematicamente, temos:
\(\binom{n}{p-1}+\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p}\)
Exemplos:
2+1=3
6+4=10
Teorema das colunas
Os números binomiais somados de uma mesma coluna, desde o primeiro termo até um termo qualquer, são iguais ao número binomial localizado imediatamente abaixo, na coluna à direita da qual soma-se os elementos. Matematicamente, temos:
\(\sum_{i=0}^{p}\binom{n+i}{n}=\binom{n+p+1}{n+1}\)
Exemplo:
1+3+6=10
Teorema das linhas
Os elementos de uma linha somados são iguais a potência de 2, com o expoente sendo o índice da linha. Matematicamente:
\(\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}=2^{n}\)
Exemplo:
\(\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=1+4+6+4+1=2^{4}\)
Teorema das diagonais
Os números binomiais localizados na mesma diagonal somados, desde a coluna zero até uma coluna qualquer, são iguais ao binomial imediatamente abaixo, na mesma coluna. Matematicamente:
\(\sum_{i=0}^{p}\binom{n+i}{i}=\binom{n+p+1}{p}\)
Exemplo:
1+3+6=10
