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Fatoração por agrupamento: o que é e como fazer
Matemática - Manual do Enem
Índice
Introdução
A fatoração por agrupamento é uma técnica de fatoração em álgebra que expande o conceito de fatoração por fator comum. Essa metodologia é útil para simplificar expressões polinomiais onde um fator comum não é imediatamente aparente em todos os termos da expressão.
O processo envolve reorganizar e agrupar os termos da expressão de maneira que fatores comuns possam ser identificados e extraídos, permitindo uma simplificação adicional.
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O que é fatoração por agrupamento?
A fatoração por agrupamento é uma técnica utilizada em álgebra para simplificar expressões ou equações. O objetivo é encontrar fatores comuns em grupos de termos para reescrever a expressão de forma mais simplificada. Esta técnica é útil quando uma expressão não tem um fator comum em todos os seus termos, mas pode ser rearranjada em grupos que têm fatores comuns.
Como fazer fatoração por agrupamento?
A fatoração por agrupamento é um tipo de “evolução” da fatoração por fator comum. Ela consiste, basicamente, em dois passos, nos quais aplicamos o fator comum.
Iremos explicar através de um exemplo. Para isso, considere a expressão
$$ax+ay+bx+by$$
Observe que nos dois primeiros termos \(ax\) e \(ay\), \(a\) é fator comum; colocando-o em evidência, obtemos:
$$a\cdot(x+y)+bx+by$$
E do mesmo modo, nos dois últimos termos, \(b\) é fator comum:
$$a\cdot(x+y)+b\cdot(x+y)$$
Agora note, a expressão inicial se tornou uma outra com dois termos:
$$a\cdot(x+y)$$
e
$$b\cdot(x+y)$$
e veja que a expressão \(x+y\) é fator comum em ambas, ou seja, podemos colocá-la em evidência:
$$(x+y)\cdot(a+b)$$
de modo que, para determinarmos o que vem dentro dos segundos parênteses, dividimos cada termo da expressão
$$a\cdot(x+y)+b\cdot(x+y)$$
pelo fator comum
$$x+y$$
isto é
$$\frac{a\cdot(x+y)}{x+y}=a$$
e
$$\frac{b\cdot(x+y)}{x+y}=b$$
Portanto, a forma completa fatorada da expressão
$$ax+ay+bx+by$$
é igual a
$$(x+y)\cdot(a+b)$$
Verifique, também, que se aplicarmos a propriedade distributiva acima, iremos chegar na expressão inicial do nosso exemplo.
Para fatorar a expressão
$$2x-4+x^{3}-2x^{2}$$
note que o número 2 é fator comum dos dois primeiros termos:
$$2x-4=2\cdot(x-2)$$
enquanto \(x^{2}\) é fator comum dos dois últimos:
$$x^{2}\cdot(x-2)$$
Assim, a expressão fica
$$2x-4+x^{3}-2x^{2}=2\cdot(x-2)+x^{2}\cdot(x-2)$$
e, claramente, \(x-2\) é fator comum entre ambas, ou seja:
$$(x-2)\cdot(2+x^{2})$$
completando a fatoração.
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Quando usar agrupamento?
A fatoração por agrupamento é uma técnica valiosa em várias situações na álgebra, especialmente quando você se depara com expressões polinomiais ou equações que não podem ser simplificadas facilmente por métodos de fatoração mais diretos. Aqui estão algumas circunstâncias específicas onde a fatoração por agrupamento é particularmente útil:
1. Expressões sem Fator Comum Óbvio
Quando uma expressão polinomial não possui um fator comum em todos os seus termos, a fatoração por agrupamento pode ser usada para reorganizar e agrupar os termos de maneira que fatores comuns possam ser identificados e extraídos.
2. Polinômios de Grau Superior
Para polinômios de grau superior (grau 3 ou mais), onde métodos como a fatoração por fator comum ou as fórmulas de fatoração específicas (como a diferença de quadrados) não são aplicáveis, a fatoração por agrupamento pode fornecer uma maneira de simplificar a expressão ou resolver a equação.
3. Preparação para a Divisão Polinomial
Antes de realizar a divisão polinomial, especialmente em casos onde a divisão sintética ou a divisão longa podem parecer complexas, a fatoração por agrupamento pode simplificar o divisor e o dividendo, tornando o processo de divisão mais gerenciável.
4. Solução de Equações Polinomiais
Na solução de equações polinomiais, especialmente aquelas que não se encaixam imediatamente em padrões reconhecíveis ou que não têm raízes óbvias, a fatoração por agrupamento pode ajudar a reorganizar a equação em uma forma que torne as raízes mais evidentes.
5. Simplificação de Expressões Algébricas
Em qualquer situação onde uma expressão algébrica precisa ser simplificada para facilitar a manipulação ou para encontrar uma forma mais "elegante" ou simplificada, especialmente em preparação para aplicar outras operações algébricas ou em problemas de otimização.
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Ao fatorarmos a expressão \(a^{2}+ab+ac+bc\), obtemos: