Iniciamos com algumas definições e conceitos que serão importantes ao longo do nosso estudo.
Iniciamos com algumas definições e conceitos que serão importantes ao longo do nosso estudo.
Definimos que dois segmentos de retas \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são congruentes se eles possuírem a mesma medida, ou seja, o mesmo comprimento. Neste caso, escrevemos:
$$ AB\cong BC$$
O símbolo \( \cong\) indica a congruência entre eles.
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Do mesmo modo, dois ângulos \( A\hat{B}C\) e \( D\hat{E}F\) serão congruentes caso eles tenham medidas iguais. Escrevemos então:
$$ A\hat{B}C\cong D\hat{E}C$$
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Vamos dizer que dois triângulos \( ABC\) e \( DEF\) são triângulos congruentes se conseguirmos obter uma correspondência entre seus vértices, de tal modo que os respectivos lados e ângulos internos correspondentes sejam congruentes entre si.
Ou seja, triângulos congruentes são basicamente triângulos idênticos.
De maneira mais simplificada, os triângulos \( ABC\) e \( DEF\) abaixo são congruentes (e escrevemos \( \triangle ABC\cong\triangle DEF\)) se:
$$ \begin{array}{ccc} AB\cong DE & & \hat{A}\cong\hat{D} \\ AC\cong DF & \text{e} & \hat{B}\cong\hat{E} \\ BC\cong EF & & \hat{C}\cong\hat{F} \end{array}$$
A princípio, para dois triângulos serem congruentes entre si, eles precisam satisfazer as seis condições dadas acima: seus lados serem congruentes e seus ângulos internos também.
É evidente que mostrar cada um dos seis critérios para provar que dois triângulos são congruentes entre si pode ser um tanto trabalhoso e longo.
Mas existem condições mínimas que garantem a congruência entre eles: são os chamados critérios de congruência, os quais são quatro:
Há ainda um caso particular a se considerar quando tratamos de congruência de triângulos retângulos: se a hipotenusa e um cateto de dois triângulos retângulos forem côngruos entre si, então tais triângulos serão congruentes.
Veja que, neste caso especial de congruência de triângulos retângulos, precisamos verificar apenas dois elementos dos triângulos em estudo, o que torna mais simples ainda quando comparado ao seis elementos (os três lados e os três ângulos internos) que deveríamos, a princípio, analisar.
Note que, exceto pelo caso especial de congruência para triângulos retângulos, todos os casos acima exigem a demonstração de congruência entre apenas três elementos dos triângulos, o que reduz pela metade o trabalho inicial que teríamos caso fôssemos mostrar a congruência através de sua definição inicial.
A vantagem dos casos de congruência de triângulos consiste na não necessidade de se provar os seis critérios, a fim de concluir que eles são côngruos. Satisfazendo um dos casos mencionados acima, pode-se afirmar que os triângulos serão congruentes e, por consequência direta, todos os seus respectivos lados e ângulos serão côngruos entre si.
Existem algumas propriedades sobre congruência de triângulos:
Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo
Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).
Na figura, o triângulo \( ABC\) é congruente ao triângulo \( CDA\). Qual o valor de \( x\)?