Congruência de triângulos

Iniciamos com algumas definições e conceitos que serão importantes ao longo do nosso estudo.

Definimos que dois segmentos de retas \( \bar{AB}\) e \( \bar{CD}\) são congruentes se eles possuírem a mesma medida, ou seja, o mesmo comprimento. Neste caso, escrevemos:

$$ AB\cong BC$$

O símbolo \( \cong\) indica a congruência entre eles.

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Do mesmo modo, dois ângulos \( A\hat{B}C\) e \( D\hat{E}F\) serão congruentes caso eles tenham medidas iguais. Escrevemos então:

$$ A\hat{B}C\cong D\hat{E}C$$

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Vamos dizer que dois triângulos \( ABC\) e \( DEF\) são triângulos congruentes se conseguirmos obter uma correspondência entre seus vértices, de tal modo que os respectivos lados e ângulos internos correspondentes sejam congruentes entre si.

Ou seja, triângulos congruentes são basicamente triângulos idênticos.

De maneira mais simplificada, os triângulos \( ABC\) e \( DEF\) abaixo são congruentes (e escrevemos \( \triangle ABC\cong\triangle DEF\)) se:

$$ \begin{array}{ccc} AB\cong DE & & \hat{A}\cong\hat{D} \\ AC\cong DF & \text{e} & \hat{B}\cong\hat{E} \\ BC\cong EF & & \hat{C}\cong\hat{F} \end{array}$$

A princípio, para dois triângulos serem congruentes entre si, eles precisam satisfazer as seis condições dadas acima: seus lados serem congruentes e seus ângulos internos também.

Critérios de congruência

É evidente que mostrar cada um dos seis critérios para provar que dois triângulos são congruentes entre si pode ser um tanto trabalhoso e longo.

Mas existem condições mínimas que garantem a congruência entre eles: são os chamados critérios de congruência, os quais são quatro:

• Caso LLL (lado, lado, lado): se dois triângulos tiverem os três respectivos lados congruentes entre si, então tais triângulos serão congruentes;
   

• Caso LAL (lado, ângulo, lado): suponha que dois triângulos possuam dois lados congruentes entre si e, além disso, o ângulo formado por esses lados também seja congruente. Então estes triângulos serão congruentes;

• Caso ALA (ângulo, lado, ângulo): caso dois ângulos de dois triângulos sejam congruentes e o lado entre eles também o for, podemos afirmar, assim, que os triângulos são congruentes entre si;

• Caso LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto): dois triângulos serão congruentes caso tiverem um lado e um ângulo côngruos entre si e, além disso, um segundo par de ângulos congruentes, de modo que eles sejam opostos a tal lado.

Há ainda um caso particular a se considerar quando tratamos de congruência de triângulos retângulos: se a hipotenusa e um cateto de dois triângulos retângulos forem côngruos entre si, então tais triângulos serão congruentes.

Veja que, neste caso especial de congruência de triângulos retângulos, precisamos verificar apenas dois elementos dos triângulos em estudo, o que torna mais simples ainda quando comparado ao seis elementos (os três lados e os três ângulos internos) que deveríamos, a princípio, analisar.

Note que, exceto pelo caso especial de congruência para triângulos retângulos, todos os casos acima exigem a demonstração de congruência entre apenas três elementos dos triângulos, o que reduz pela metade o trabalho inicial que teríamos caso fôssemos mostrar a congruência através de sua definição inicial.

A vantagem dos casos de congruência de triângulos consiste na não necessidade de se provar os seis critérios, a fim de concluir que eles são côngruos. Satisfazendo um dos casos mencionados acima, pode-se afirmar que os triângulos serão congruentes e, por consequência direta, todos os seus respectivos lados e ângulos serão côngruos entre si.

Propriedades

Existem algumas propriedades sobre congruência de triângulos:

• Reflexiva: um triângulo é congruente a si mesmo;
• Simétrica: se um triângulo \( ABC\) for côngruo a um triângulo \( DEF\), então o triângulo \( DEF\) será congruente ao triângulo \( ABC\);
• Transitiva: caso um triângulo \( ABC\) seja congruente a um triângulo \( DEF\) e o triângulo \( DEF\) for congruente ao triângulo \( GHI\), então o triângulo \( ABC\) será côngruo ao triângulo \( GHI\).