Desvio padrão

Desvio padrão é um assunto da matemática que pode ser cobrado tanto no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), quanto em outros grandes vestibulares do país, como a Fuvest ou a Unicamp. Por isso, é válido aprender o que é essa medida de dispersão e como calculá-la.

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Junto com a variância, o desvio padrão é uma das medidas de dispersão. Ele mostra o quão homogêneo é um conjunto de dados, ou seja, se tal conjunto representa alguma uniformidade.Quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais uniforme é o conjunto de valores com os quais estamos trabalhando, indicando que mais próximos do valor da média eles estão.

Se \(x_{1},\ldots,x_{n}\) forem os valores de \(n\) dados, então o cálculo do desvio padrão é dado pela raiz quadrada da variância, isto é:

$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+\ldots+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}}$$

Onde \(\bar{x}\) é a média aritmética dos dados. Nota-se que, em geral, utilizamos a letra grega sigma \(\sigma\) para representar o desvio padrão.

Vamos determinar, como exemplo, o desvio padrão de dois valores: 6 e 10. Inicialmente, devemos calcular a média aritmética entre eles:

$$\bar{x}=\frac{6+10}{2}=\frac{16}{2}$$

ou seja, $$\bar{x}=8$$

E com isto, o valor da variância é igual a:

$$\sigma^{2}=\frac{(6-8)^{2}+(10-8)^{2}}{2}=\frac{(-2)^{2}+2^{2}}{2}$$

isto é, $$\sigma^{2}=\frac{4+4}{2}=\frac{8}{2}\Rightarrow\sigma^{2}=4$$

Logo, o desvio padrão será a raiz quadrada de 4:

$$\sigma=\sqrt{4}\Rightarrow\sigma=2

Nota-se que o desvio padrão é um número não muito pequeno (próximo de zero). Isto indica que o conjunto de valores que estamos trabalhando não é uniforme. De fato, como nossos dois valores são apenas 6 e 10, olhando para eles como um todo, é possível notar que há uma diferença grande entre eles.

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Por exemplo, vamos supor que os dados de uma amostra são 4, 3 e 5. Deste modo, sua média aritmética será:

$$\bar{x}=\frac{4+3+5}{3}=\frac{12}{3}\Rightarrow\bar{x}=4$$

Logo, sua variância será

$$\sigma^{2}=\frac{(4-4)^{2}+(3-4)^{2}+(5-4)^{2}}{3}=\frac{0+1+1}{3}\Rightarrow\sigma^{2}\cong0,666$$

Portanto, para calcular o desvio padrão, basta extrair a raiz quadrada do número encontrado acima:

$$\sigma=\sqrt{0,66}\Rightarrow\sigma\cong0,816$$

Uma vez que o desvio padrão é um número baixo, então isto significa que os dados da amostra são valores próximos da média. De fato, a média calculada anteriormente vale 4 e os dados da nossa amostra são 4, 3 e 5.

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