Fatoração

Uma maneira muito fácil de se visualizar operações algébricas, principalmente a fatoração, é transformando os números em comprimentos e áreas. Essa técnica foi muito utilizada pelos gregos. Um exemplo simples é o seguinte:

Visualização do quadrado perfeito \((a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\)

Perceba que área do quadrado grande (vermelho) pode ser vista como a soma das várias áreas menores.

Área do quadrado vermelho: \(b ^2\)

Área do quadrado rosa: \(a \cdot b\)

Área do quadrado verde: \(a \cdot b\)

Área do quadrado marrom: \(a ^2\)

Área do quadrado grande: \((a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2\). Portanto, temos facilmente a fórmula do quadrado perfeito: \((a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2\).

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A fatoração de uma expressão algébrica significa transformá-la em um produto. Qualquer número pode ser fatorado em um produto de números primos, veja o exemplo:

Utilizando a técnica de fatoração podemos ver que \(144 = 2^4 + 3^2\).

Propriedade distributiva

A principal técnica de fatoração é a propriedade distributiva, que pode ser facilmente visualizada de maneira geométrica:

Perceba que a soma das áreas dos retângulos vermelho e azul é igual à área do retângulo grande.

Retângulo vermelho: \(a \cdot x\)

Retângulo azul: \(a \cdot y\)

Retângulo grande: \(a \cdot (x + y)\)

Portanto, temos aqui: \(a \cdot x + a \cdot y = a \cdot (x + y)\)

Agrupamento

A técnica do agrupamento é utilizada quando não há fatores comuns em todos os termos. Veja o exemplo:

Exemplo 1:

\(a \cdot x +b \cdot y + a \cdot y + b \cdot x = a \cdot (x + y) + b \cdot (x + y) = (x + y) \cdot (a + b)\)

Não é nada mais que a utilização sucessiva da propriedade distributiva.

Quadrado da diferença

Na introdução, nós vimos uma simples visualização do quadrado perfeito, também conhecido como o quadrado da soma. Agora, veremos o resultado do quadrado da diferença:

\((a - b)^2 = [a + (-b)]^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot b + b^2\)

Vamos ver agora exemplos do quadrado da soma e do quadrado da diferença:

Exemplo 2: Quadrado da soma

\((3\cdot x + 5 \cdot y)^2 = (3 \cdot x)^2 + 2 \cdot (3 x) \cdot (5y) + (5 \cdot y)^2 = 9 \cdot x^2 + 30 \cdot x \cdot y + 25 \cdot y^2\)

Exemplo 3: Quadrado da diferença

\((4\cdot x - 3 \cdot y )^2 = (4 \cdot x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (3y) + (3 \cdot y)^2 = 16 \cdot x^2 - 24 \cdot x \cdot y + 9 \cdot y^2\)

Diferença de quadrados

Perceba a diferença entre Quadrado da diferença \(((a - b)^2)\) e Diferença de quadrados \((a^2 - b^2)\). Visualizemos a situação:

Vamos descobrir a área que sobra após subtrairmos a área do quadrado pequeno (área azulada) do quadrado grande.

Área quadrado grande: \(a^2\)

Área quadrado pequeno: \(b^2\)

Calculando a área que sobra no quadrado grande, a partir da subtração do quadrado pequeno, temos:

Área (1): \(a \cdot (a - b)\)

Área (2): \(b \cdot (a - b)\)

Com isso: \(a^2 - b^2 = a \cdot (a-b) + b \cdot (a - b) = (a+b) \cdot (a-b)\)

Com o que já vimos, conseguimos calcular esses valores:

Cubo da soma     

\((a + b)^3 = (a+b) \cdot (a+b)^2 = (a+b) \cdot (a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2) = a^3 + 2 \cdot a^2 \cdot b + a \cdot b^2+ a^2 \cdot b + 2\cdot a \cdot b^2 + b^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 + b^3\)

Cubo da diferença

\((a - b)^3 = [a + (-b)]^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (-b) + 3 \cdot a \cdot (-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 - b^3\)

Soma de cubos

\((a + b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 + b^3 \Rightarrow a^3 + b^3 = (a + b)^3- 3 \cdot a^2 \cdot b - 3 \cdot a \cdot b^2 \\a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3 a b \cdot(a + b)\Rightarrow a^3 + b^3 = (a+b) \cdot[(a+ b )^2 - 3 \cdot a \cdot b] a^3 + b^3 =(a+b) \cdot (a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 - 3 \cdot a \cdot b) \Rightarrow a^3 + b^3 = (a + b) \cdot (a^2 - a \cdot b + b^2)\)

Diferença de cubos

\(a^3 + (-b)^3 = [a + (-b)] \cdot [a^2 - a \cdot (-b) + (-b)^2] = (a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2)\)