Inequações produto e quociente

Dadas duas (ou mais) funções \(f(x)\) e \(g(x)\), chamamos as desigualdades

$$f(x)\cdot g(x)>0,\quad f(x)\cdot g(x)\geq0$$

$$f(x)\cdot g(x)<0,\quad f(x)\cdot g(x)\leq0$$

de inequações produto e

$$\frac{f(x)}{g(x)}>0,\quad\frac{f(x)}{g(x)}\geq0$$

$$\frac{f(x)}{g(x)}<0,\quad\frac{f(x)}{g(x)}\leq0$$

de inequações quociente.

A resolução de inequações produto/quociente são similares entre si. A determinação do conjunto-solução gsx faz uso do quadro de sinais, que se dá a partir da análise de sinal do gráfico da função.

Em tal quadro, remetemos às regras de sinais da multiplicação e divisão entre números reais: sinais iguais resultam em positivo, enquanto sinais diferentes implicam em negativo.

Por exemplo, considerando a inequação

$$(x-2)\cdot(x+3)\geq0$$

tomamos as funções

$$f(x)=x-2$$

e

$$g(x)=x+3$$

para analisar o sinal de cada uma separadamente. A função \(f(x)=x-2\) é uma função do 1º grau cujo gráfico é uma reta crescente que corta o eixo \(x\) no ponto \(x=2\), pois este é raiz de tal função, isto é, a solução da equação

$$f(x)=0\Leftrightarrow x-2=0$$

Assim, temos

A função \(g(x)=x+3\) também é do 1º grau e o gráfico é uma reta crescente, porém corta o eixo \(x\) em \(x=-3\).

Colocando ambas análises em um quadro de sinal e fazendo a regra de sinais entre eles, temos que:

Para obter o sinal da terceira linha, usamos a regra de sinal usual. Isto é:

• À esquerda do -3: temos menos com menos que dá mais;
• Entre -3 e 2: temos menos com mais que dá menos;
• À direita do 2: temos mais com mais que dá mais.

Por fim, assinalamos a parte à esquerda do -3 e à direita do 2, pois, na inequação, o exercício pede os valores do produto entre \(f\) e \(g\), que são maiores (>) que zero, ou seja, resultam em números positivos.

Além disso, a bolinha está aberta em -3 e no 2, pois o sinal de desigualdade da inequação é > e não \(\geq\), ou seja, queremos que o produto entre as funções dê um número estritamente positivo. Caso o sinal fosse \(\geq\), então usaríamos bolinha fechada.

Portanto, a solução final da inequação é

$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-3\;\text{ou}\;x>2\}$$