Dadas duas (ou mais) funções \(f(x)\) e \(g(x)\), chamamos as desigualdades
$$f(x)\cdot g(x)>0,\quad f(x)\cdot g(x)\geq0$$
$$f(x)\cdot g(x)<0,\quad f(x)\cdot g(x)\leq0$$
de inequações produto e
$$\frac{f(x)}{g(x)}>0,\quad\frac{f(x)}{g(x)}\geq0$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}<0,\quad\frac{f(x)}{g(x)}\leq0$$
de inequações quociente.
A resolução de inequações produto/quociente são similares entre si. A determinação do conjunto-solução gsx faz uso do quadro de sinais, que se dá a partir da análise de sinal do gráfico da função.
Em tal quadro, remetemos às regras de sinais da multiplicação e divisão entre números reais: sinais iguais resultam em positivo, enquanto sinais diferentes implicam em negativo.
Por exemplo, considerando a inequação
$$(x-2)\cdot(x+3)\geq0$$
tomamos as funções
$$f(x)=x-2$$
e
$$g(x)=x+3$$
para analisar o sinal de cada uma separadamente. A função \(f(x)=x-2\) é uma função do 1º grau cujo gráfico é uma reta crescente que corta o eixo \(x\) no ponto \(x=2\), pois este é raiz de tal função, isto é, a solução da equação
$$f(x)=0\Leftrightarrow x-2=0$$
Assim, temos
A função \(g(x)=x+3\) também é do 1º grau e o gráfico é uma reta crescente, porém corta o eixo \(x\) em \(x=-3\).
Colocando ambas análises em um quadro de sinal e fazendo a regra de sinais entre eles, temos que:
Para obter o sinal da terceira linha, usamos a regra de sinal usual. Isto é:
- À esquerda do -3: temos menos com menos que dá mais;
- Entre -3 e 2: temos menos com mais que dá menos;
- À direita do 2: temos mais com mais que dá mais.
Por fim, assinalamos a parte à esquerda do -3 e à direita do 2, pois, na inequação, o exercício pede os valores do produto entre \(f\) e \(g\), que são maiores (>) que zero, ou seja, resultam em números positivos.
Além disso, a bolinha está aberta em -3 e no 2, pois o sinal de desigualdade da inequação é > e não \(\geq\), ou seja, queremos que o produto entre as funções dê um número estritamente positivo. Caso o sinal fosse \(\geq\), então usaríamos bolinha fechada.
Portanto, a solução final da inequação é
$$S=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-3\;\text{ou}\;x>2\}$$