Regra de sinais: aprenda o jogo de sinais e não erre mais

A "regra de sinais" é um conjunto de diretrizes que se aplicam às operações matemáticas envolvendo números positivos e negativos. Essas regras ajudam a determinar o sinal (+ ou -) do resultado das operações. 

Trata-se de uma ferramenta fundamental na matemática que ajuda a determinar o resultado de operações envolvendo números com diferentes sinais, tornando as operações matemáticas mais previsíveis e úteis em uma variedade de contextos, desde álgebra até cálculos avançados.

Quando vamos realizar alguma operação (soma, subtração, multiplicação ou divisão) que envolva números negativos, é preciso estar atento em qual será o sinal do resultado para não cometer nenhum erro.

Para isso, existe uma regra que te diz qual o sinal do número resultante de uma operação matemática, podendo o resultado ser positivo, negativo ou nulo.

Para você não errar mais, confira macetes das regras de sinais:

Soma

Quando se soma dois números com sinais opostos, o resultado é a diferença dos valores absolutos dos números, com o sinal do número de maior valor absoluto.

Subtração

Quando se subtrai um número positivo de outro positivo, o resultado é positivo. Se um dos números for negativo, o resultado será negativo.

Multiplicação

O sinal do resultado da multiplicação depende dos sinais dos números multiplicados. Se ambos são positivos ou ambos são negativos, o resultado é positivo. Se um dos números é positivo e o outro é negativo, o resultado é negativo.

Divisão

O sinal do resultado da divisão depende dos sinais dos números divididos. Se ambos são positivos ou ambos são negativos, o resultado é positivo. Se um dos números é positivo e o outro é negativo, o resultado é negativo.

O símbolo ÷ é amplamente utilizado em países de língua inglesa para representar a divisão. Foi introduzido pelo suíço Johann Rahn em 1659. A barra diagonal /, que surgiu no século 18, foi criada como uma alternativa à barra horizontal de fração, que é difícil de compor tipograficamente. Esses símbolos têm desempenhado um papel importante na representação matemática ao longo dos anos.

Uma coisa importante para se entender as regras de sinais é o módulo de um número, que nada mais é do que o valor do número sem o sinal, por exemplo:

• O módulo de -5 é 5 e o módulo de 5 também é 5
• O módulo de -3 é 3 e o módulo de 3 também é 3

Outro modo de escrever isso é da forma |-5| = 5 (O módulo de -5 é 5).

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Ao somarmos dois números de mesmo sinal, estamos aumentando o módulo do resultado. Pense assim: “a soma de dois números positivos, torna o resultado ainda mais positivo” e “a soma de dois números negativos, torna o resultado ainda mais negativo”. Neste último caso, podemos pensar como o aumento de uma dívida.

Soma de dois números positivos

Ao se somar dois números positivos fazemos a soma normalmente. Por exemplo:

• 5 + 3 = 8
• 7 + 9 = 16

Soma de dois números negativos

Ao se somar dois números negativos, o resultado sempre será o negativo da soma dos módulos, por exemplo:

• -3 + (-4) = -(3 + 4) = -7 (devo 3 e devo mais 4, logo devo 7)
• -5 + (-8) = -(5 + 8) = -13 (devo 5 e devo mais 8, logo devo 13)

Exemplo: A conta bancária de Maria não anda nada bem. Ela está com uma dívida de R$200,00 e ainda precisará pagar um boleto de R$50,00 para fechar o mês. Qual o será o saldo da conta bancária de Maria após o pagamento do boleto?

Resolução: Adicionando 50 reais na dívida de 200, temos uma dívida de 250 reais. De um modo mais esquemático, podemos pensar assim:

• 200 + (-50) = - 250.

Entenda como a soma de números de sinais diferentes deve ser feita caso por caso:

Soma de um número positivo com um número negativo

Quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindo o módulo daquele número, por exemplo:

• 5 + (-2) = 5 - 2 = 3

Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa soma pode ser negativa:

• 2 + (-5) = 2 - 5 = -3

Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do número de maior módulos, por exemplo:

• Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais negativos na conta. Isso ocorre pois no começo, Maria estava com -10 reais, então ela adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3.
• 2 + (-7) =  -5
• (-4) + 8 =  4

Soma de um número positivo com um número negativo

Neste caso, vale a regra de que se faz a diferença entre os módulos dos números e o resultado tem o mesmo sinal daquele que tem o maior módulo. Por exemplo:

• 7 + (-5) = 2 (já que 7 - 5 = 2 e 7 é maior que 5, sendo o resultado positivo)
• 7 + (-9) = -2 (já que 9 - 7 = 2 e 9 é maior que 7, sendo o resultado negativo)
• -4 + 5 = 1 (já que 5 - 4 = 1 e 5 é maior que 4, sendo o resultado positivo)
• -5 + 4 = -1 (já que 5 - 4 = 1 e 5 é maior que 4, sendo o resultado negativo)
• -2 + 2 = 0 (já que 2 - 2 = 0)

Também podemos pensar que quando somamos um número positivo a um negativo, estamos, na verdade, subtraindo o módulo daquele número, por exemplo:

• 5 + (-2) = 5 - 2 = 3

Veja que ao se somar o -2 ao 5, estamos subtraindo 2 de 5. Outro exemplo nos mostra que essa soma pode ser negativa:

• 2 + (-5) = 2 - 5 = -3 (imagine que você tinha 2 reais e, ao comprar algo de 5 reais, fica com uma dívida de 3 reais)

Ao somarmos um número positivo com um negativo, o sinal do resultado será o sinal do número de maior módulo! Por exemplo:

• Se Maria está com 10 reais negativos na conta e deposita 7 reais, ela ficará com 3 reais negativos na conta. Isso ocorre, pois, no começo, Maria estava com -10 reais, então ela adicionou +7 reais à conta, resultando em -3 reais na conta, ou seja, -10 + 7 = -3.
• 2 + (-7) =  -5
• (-4) + 8 =  4

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Podemos pensar na subtração como a operação inversa da adição. Desta forma, somar um número negativo é equivalente a subtrair um número positivo. Por exemplo:

• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• 1 + (-5) = 1 - 5 = -4
• -7 + (-5) = -7 - 5 = -12

A escrita -(-1) pode ser interpretada como o oposto de -1, ou seja, 1. Assim, no momento que vamos subtrair um número negativo, a ideia é equivalente a somar um número positivo. Por exemplo:

• 7 - (-4) = 7 + 4 = 11
• -1 - (-5) = -1 + 5 = 4
• -10 - (-2) = -10 + 2 = -8

A multiplicação de dois números de mesmo sinal sempre resulta em um número positivo. Veja os casos a seguir:

Multiplicação de dois números positivos

Ao multiplicar dois números positivos, fazemos a multiplicação normalmente. Por exemplo:

• 5 ⋅ 3 = 15
• 7 ⋅ 9 = 63

Multiplicação de dois números negativos

A multiplicação de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo:

• (−4)⋅(−3)=+(4⋅3)=12
• (−8)⋅(−5)=+(8⋅5)=40
• (−6)⋅(−7)=+(6⋅7)=42

Para mandar bem em matemática, é preciso entender como funciona a multiplicação de números com sinais diferentes. Entenda:

Multiplicação de um número positivo com um número negativo

A multiplicação de um número positivo com um número negativo sempre resulta em um número negativo, e o módulo do resultado é a multiplicação dos módulos, por exemplo:

• 7⋅(−2)=−(7⋅2)=−14
• 5⋅(−4)=−(5⋅4)=−20
• −7⋅8=−(7⋅8)=−56

Neste caso, aplicam-se as mesmas regras da multiplicação vistas anteriormente.

Divisão de dois números positivos

Ao dividir dois números positivos, fazemos a divisão normalmente. Por exemplo:

• 15 : 3 = 5
• 63 : 9 = 7

Divisão de dois números negativos

A divisão de dois números negativos sempre resulta em um número positivo e o módulo do resultado é a divisão dos módulos, por exemplo:

• (−14) : (−2) = + (14 : 2) = 7
• (−18) : (−5) = + (18 : 5) = 3,6
• (−1) : (−3) = + (1 : 3) = 0,333…

Veja a seguir como a divisão de número com sinais opostos, ou seja, um número negativo e outro positivo, deve ser feita na prática:

Divisão de um número positivo por um número negativo ou de um número negativo por um número positivo

A divisão de um número positivo por um número negativo ou de um número negativo por um número positivo sempre resulta em um número negativo, e o módulo do resultado é a divisão dos módulos, por exemplo:

• 15 : (−3) = − (15 : 3) = −5
• 7 : (−2) = − (7 : 2) = −3,5
• −7 : 7 = − (7 : 7) = −1

Esta é uma pergunta que muitos alunos fazem e ela deve ser respondida com muito cuidado. Primeiramente, porque nem sempre “menos com menos dá mais”. Pense na seguinte operação: - 4 - 7 = - 11. Evidentemente, aqui estamos subtraindo 7 de -4, o que resultaria em -11, que é um número negativo.

Quando se faz esta pergunta, geralmente o que se busca é uma resposta para “Por que um número negativo vezes outro número negativo resulta em um número positivo?”. Neste caso, sem entrar em grandes formalizações matemáticas, trazemos algumas possíveis abordagens.

1ª) Uma maneira de pensar em como esses resultados fazem sentido pode ser imaginando o seguinte problema: “Qual seria o dobro de uma dívida de 7 reais?” De imediato, pensamos em uma dívida de 14 reais. Logo, teríamos que 2 ⋅ (-7) = -14, trazendo uma conclusão imediata que um número positivo vezes um número negativo deve resultar em um número negativo.

Para que as operações matemáticas tenham sentido, podemos pensar na continuação da seguinte sequência de operações:

• 3 ⋅ (-5) = -15
• 2 ⋅ (-5) = -10
• 1 ⋅ (-5) = -5
• 0 ⋅ (-5) = 0
• -1 ⋅ (-5) = ?
• -2 ⋅ (-5) = ?
• -3 ⋅ (-5) = ?

Note que os resultados aumentam de 5 em 5, o que tornaria lógico dizermos que:

• -1 ⋅ (-5) = 5
• -2 ⋅ (-5) = 10
• -3 ⋅ (-5) = 15

Além disso, o sinal negativo na frente do primeiro número também traz a ideia de oposto, ou seja, o oposto de 1 ⋅ (-5) é -1 ⋅ (-5) e, como 1 ⋅ (-5) = -5, então -1 ⋅ (-5) = 5.

2ª) Outro argumento utiliza a validade da propriedade distributiva. Vejamos no seguinte exemplo. Sabemos que todo número vezes zero dá zero, logo:

(-3) ⋅ 0 = 0

Zero pode ser escrito como a soma de um número com seu oposto, no caso vamos trocar o zero por -2 + 2.

(-3) ⋅ (-2 + 2) = 0

Utilizando a propriedade distributiva, temos:

(-3) ⋅ (-2) + (-3) ⋅ 2 = 0

Já é conhecido que (-3) ⋅ 2 = -6. Assim:

(-3) ⋅ (-2) + (-6) = 0

Que número somado com (-6) resulta em zero? O número seis. Logo (-3) ⋅ (-2) = 6.

3ª) Outra interpretação possível para a multiplicação está relacionada com a reta numérica. Multiplicar um número por -1 dá como resultado o oposto deste número.

Fazendo -1 ⋅ 2, teríamos:

Ou seja, -1 ⋅ 2 = -2.

E se fizermos (-1) ⋅ (-2)? Utilizando o mesmo raciocínio, teríamos:

Ou seja, (-1) ⋅ (-2) = 2. 

Generalizando este raciocínio, chegamos à conclusão que a multiplicação de dois números negativos deve resultar em um número positivo.

Saber os erros mais comuns na utilização da regra de sinais pode te ajudar a entender o assunto. Confira:

1. Confusão entre soma e subtração de sinais opostos

• Erro comum: Somar dois números com sinais opostos e manter o sinal do primeiro número, independentemente dos valores absolutos.
• Correção: Ao somar dois números com sinais opostos, subtraia os valores absolutos e use o sinal do número com maior valor absoluto. Por exemplo, $-7+3$ deve ser tratado como $7-3$ e o resultado é $-4$, não $-10$.

2. Multiplicação e divisão de sinais iguais

• Erro comum: Pensar que a multiplicação ou divisão de dois números negativos resulta em um número negativo.
• Correção: Lembre-se de que a multiplicação ou divisão de dois números com sinais iguais (ambos positivos ou ambos negativos) sempre resultará em um número positivo. Por exemplo, $-4\times -5=20$ e não $-20$.

3. Subtração como adição do oposto

• Erro comum: Tratar a subtração de um número negativo como uma subtração regular, em vez de adição.
• Correção: Ao subtrair um número negativo, na verdade estamos adicionando seu oposto. Por exemplo, $7-(-2)$ deve ser tratado como $7+2$, resultando em $9$, não $5$.

4. Desconsiderar o módulo em soma de sinais opostos

• Erro comum: Somar os valores como se ambos fossem positivos, sem considerar seus módulos.
• Correção: Ao somar números com sinais opostos, primeiro calcule a diferença entre seus valores absolutos e, em seguida, aplique o sinal do número de maior valor absoluto.

5. Erros de sinal em expressões compostas

• Erro comum: Perder o controle dos sinais em expressões com múltiplas operações.
• Correção: Simplifique as expressões passo a passo e preste atenção especial aos sinais. Em caso de dúvida, use parênteses para organizar a ordem das operações.

6. Suposição incorreta na soma de números negativos

• Erro comum: Acreditar que a soma de dois números negativos resulta em um número positivo.
• Correção: A soma de dois números negativos sempre resulta em um número negativo. Por exemplo, $-3+(-4)=-7$, não $7$.

Confira abaixo os principais pontos sobre a resolução de problemas como a regra de sinais:

• Ao se somar dois números de mesmo sinal, some os módulos e mantenha o sinal;
• Ao se somar dois números de sinais diferentes o sinal do maior módulo permanece;
• Ao se subtrair um número, podemos pensar que estamos somando o oposto deste número e usar a mesma regra da adição.
• Ao se multiplicar dois números com mesmo sinal o resultado será positivo;
• Ao se multiplicar dois números de sinais opostos o resultado será negativo.
• Ao se dividir dois números com mesmo sinal o resultado será positivo;
• Ao se dividir dois números de sinais opostos o resultado será negativo.

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