Inscrição e Circunscrição de Sólidos

Esfera inscrita no cubo

Observe como a esfera fica inscrita no cubo.

Figura 1 - Esfera inscrita no cubo.

Observe agora a seção transversal desses sólidos.

Figura 2 - Seção transversal da esfera inscrita no cubo.

Pela imagem, é possível perceber então que:

\(R=\frac{a}{2}\)

Esfera circunscrita no cubo

Neste caso, temos as seguintes figuras.

Figura 3 - Esfera circunscrita no cubo.

Figura 4 - Seção transversal da esfera circunscrita no cubo.

Perceba que na seção transversal acima, o valor \(a\sqrt{2}\) equivale a diagonal da face de cima do cubo, enquanto a equivale a aresta do cubo. Podemos então dizer que:

\(R=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

A relação acima é facilmente demonstrada por Pitágoras (tente demonstrá-la!).

Esfera inscrita no cilindro

Figura 5 - Esfera inscrita no cilindro.

A partir da figura acima, percebe-se que:

\(h=2R \qquad \qquad r=R\)

Além disso, é importante saber que um cilindro circunscrito a uma esfera é um cilindro equilátero!

Esfera circunscrita ao cilindro

Figura 6 - Esfera circunscrita ao cilindro.

Neste caso, a partir do teorema de Pitágoras, temos:

\((2R)^{2}=h^{2}+(2r)^{2}\)

Figura 7 - Esfera inscrita no cone.

Figura 8 - Corte da figura 7. É possível ver melhor os elementos da esfera e do cone.

O interessante aqui é notar a semelhança de triângulos entre o triângulo AOD e o triângulo ABM.

Figura 9 - Semelhança de triângulos.

Assim, é possível deduzir que:

\(\frac{R}{r}=\frac{h-R}{g}\)

Vamos resolver um exercício de vestibular para compreender melhor o conteúdo!

(PUCCAMP) Uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado l e cuja altura é h, está inscrita num cilindro reto com raio da base r e altura H. Nessas condições, é verdade que:

• \(l=r\)
• \(l=\sqrt{2}r\)
• \(l=2r\)
• \(2H=h\)
• \(H=2h\)

Resolução: Observe como a figura auxilia na solução do exercício:

Claramente, percebemos que h=H. Portanto as alternativas d) e e) estão erradas.

Sabemos que a diagonal de um quadrado é igual ao valor do lado vezes raiz de 2, assim, temos que a relação de r e l é:

\(2r=l\sqrt{2}\rightarrow l=\frac{2r}{\sqrt{2}}\rightarrow l=\frac{2r}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\rightarrow l=r\sqrt{2}\)

ALTERNATIVA B.

Neste conteúdo de inscrição e circunscrição de sólidos deve ter ficado claro para você que todas as fórmulas são de fácil dedução e demonstração. 

Assim, caso o aluno opte por não decorar as fórmulas apresentadas, não há problemas, uma vez que ele saiba como deduzi-las na hora da prova ou do vestibular. 

Decorar também é uma opção, mas como já existem muitas outras fórmulas que devem ser decoradas, talvez seja melhor optar por deduzir algumas e decorar outras, isso se o aluno se sentir confiante com essa decisão!

Além disso, outra dica muito valiosa é que, em exercícios de geometria, sempre desenhe a situação do exercício! Isso ajuda muito na hora de entender e visualizar a solução daquele problema!

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).