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Juros compostos
Matemática - Manual do Enem
Índice
Introdução
A matemática financeira é um dos assuntos cobrados no Enem. Entre as 45 questões de matemática, um conteúdo comum é os juros compostos. Por isso, é importante entender o que é esse tipo de juros e qual fórmula utilizar para calculá-lo.
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O que são os juros compostos?
Ao contrário dos juros simples, onde os juros são calculados em cima do capital inicial, os juros compostos são calculados em cima dos próprios juros. Isto significa que, no regime de juros compostos, os juros acumulados anteriormente são usados para o cálculo dos rendimentos do período seguinte e assim por diante.
Por esse motivo, os juros compostos oferecem maior rentabilidade e são mais utilizados no sistema financeiro do que o regimento por juros simples
Na tabela abaixo, foi aplicado um valor de R$ 1000,00 a uma taxa de 3% ao mês durante 60 meses nos regimes de juros simples e juros compostos. Consegue-se observar que a diferença entre ambos aumenta com o decorrer do tempo. Exemplo:
| Mês | Juros simples | Juros compostos |
| 0 | R$ 1.000,00 | R$ 1.000,00 |
| 1 | R$ 1.030,00 | R$ 1.030,00 |
| 2 | R$ 1.060,00 | R$ 1.060,90 |
| 3 | R$ 1.090,00 | R$ 1.092,73 |
| 4 | R$ 1.120,00 | R$ 1.125,51 |
| 5 | R$ 1.150,00 | R$ 1.159,27 |
| 6 | R$ 1.180,00 | R$ 1.194,05 |
| 7 | R$ 1.210,00 | R$ 1.229,87 |
| 8 | R$ 1.240,00 | R$ 1.266,77 |
| 9 | R$ 1.270,00 | R$ 1.304,77 |
| 10 | R$ 1.300,00 | R$ 1.343,92 |
| 11 | R$ 1.330,00 | R$ 1.384,23 |
| 12 | R$ 1.360,00 | R$ 1.425,76 |
| 13 | R$ 1.390,00 | R$ 1.468,53 |
| 14 | R$ 1.420,00 | R$ 1.512,59 |
| 15 | R$ 1.450,00 | R$ 1.557,97 |
| 16 | R$ 1.480,00 | R$ 1.604,71 |
| 17 | R$ 1.510,00 | R$ 1.652,85 |
| 18 | R$ 1.540,00 | R$ 1.702,43 |
| 19 | R$ 1.570,00 | R$ 1.753,51 |
| 20 | R$ 1.600,00 | R$ 1.806,11 |
| 21 | R$ 1.630,00 | R$ 1.860,29 |
| 22 | R$ 1.660,00 | R$ 1.916,10 |
| 23 | R$ 1.690,00 | R$ 1.973,59 |
| 24 | R$ 1.720,00 | R$ 2.032,79 |
| 25 | R$ 1.750,00 | R$ 2.093,78 |
| 26 | R$ 1.780,00 | R$ 2.156,59 |
| 27 | R$ 1.810,00 | R$ 2.221,29 |
| 28 | R$ 1.840,00 | R$ 2.287,93 |
| 29 | R$ 1.870,00 | R$ 2.356,57 |
| 30 | R$ 1.900,00 | R$ 2.427,26 |
| 31 | R$ 1.930,00 | R$ 2.500,08 |
| 32 | R$ 1.960,00 | R$ 2.575,08 |
| 33 | R$ 1.990,00 | R$ 2.652,34 |
| 34 | R$ 2.020,00 | R$ 2.731,91 |
| 35 | R$ 2.050,00 | R$ 2.813,86 |
| 36 | R$ 2.080,00 | R$ 2.898,28 |
| 37 | R$ 2.110,00 | R$ 2.985,23 |
| 38 | R$ 2.140,00 | R$ 3.074,78 |
| 39 | R$ 2.170,00 | R$ 3.167,03 |
| 40 | R$ 2.200,00 | R$ 3.262,04 |
| 41 | R$ 2.230,00 | R$ 3.359,90 |
| 42 | R$ 2.260,00 | R$ 3.460,70 |
| 43 | R$ 2.290,00 | R$ 3.564,52 |
| 44 | R$ 2.320,00 | R$ 3.671,45 |
| 45 | R$ 2.350,00 | R$ 3.781,60 |
| 46 | R$ 2.380,00 | R$ 3.895,04 |
| 47 | R$ 2.410,00 | R$ 4.011,90 |
| 48 | R$ 2.440,00 | R$ 4.132,25 |
| 49 | R$ 2.470,00 | R$ 4.256,22 |
| 50 | R$ 2.500,00 | R$ 4.383,91 |
| 51 | R$ 2.530,00 | R$ 4.515,42 |
| 52 | R$ 2.560,00 | R$ 4.650,89 |
| 53 | R$ 2.590,00 | R$ 4.790,41 |
| 54 | R$ 2.620,00 | R$ 4.934,12 |
| 55 | R$ 2.650,00 | R$ 5.082,15 |
| 56 | R$ 2.680,00 | R$ 5.234,61 |
| 57 | R$ 2.710,00 | R$ 5.391,65 |
| 58 | R$ 2.740,00 | R$ 5.553,40 |
| 59 | R$ 2.770,00 | R$ 5.720,00 |
| 60 | R$ 2.800,00 | R$ 5.891,60 |
Qual a fórmula para calcular juros compostos?
Chamando de \(C\) o capital inicial, \(i\) a taxa de juros (em formato decimal) e \(t\) o tempo pelo qual os juros serão calculados, segue que:
$$M=C\cdot(1+i)^{t}$$
Onde \(M\) é o montante final produzido.
Observe que, ao contrário dos juros simples, na capitalização por juros compostos, já se obtém diretamente o montante que será adquirido. Assim, para se calcular, de fato, os juros que foram gerados, basta usarmos a seguinte fórmula:
$$J=M-C$$
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Exemplo de juros compostos
Por exemplo, caso o capital aplicado seja de R$ 200,00 a uma taxa de 2% a.m. (ao mês) durante 1 ano (12 meses) em regime de juros compostos, o montante adquirido será de:
$$M=200\cdot(1+0,02)^{12}=200\cdot(1,02)^{12}\Rightarrow M=253,65$$
E, portanto, os juros rendidos foram de:
$$J=253,65-200,00=53,65$$
Só para efeito de comparação, na capitalização por juros simples, o montante neste exemplo seria de 248 reais.
Usando a calculadora do celular para calcular o montante dos juros compostos
Pelo exemplo anterior, nota-se que o cálculo do montante não é tão simples e o auxílio de uma calculadora é fundamental.
Usando-se a calculadora do celular, deve-se inicialmente mudá-la para a versão científica:
Em seguida, escreve o valor do montante. Usando os dados do exemplo anterior, temos
Agora, deve-se adicionar primeiro parêntese:
e escrever conforme a fórmula:
Fechando os parênteses:
E clicamos no símbolo de potência para poder escrever o tempo de aplicação, que no nosso caso é 12:
Basta apertar o sinal de igual e obtemos o valor solicitado.
Qual as fórmulas para calcular juros compostos?
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Se aplico hoje o capital de R$ 100.000,00 à taxa de juros compostos mensais de 10%, poderei retirar daqui a 5 meses: