Fator comum: o que é e os tipos de fatoração

A fatoração por fator comum é uma daquelas que mais aparecem nas expressões algébricas. Seu processo, como o próprio nome diz, está em se “retirar” (dizemos colocar em evidência) um número/letra que seja comum aos fatores da expressão.

Por exemplo, na expressão

$$2x+2y$$

o número 2 é fator comum, pois ele está em ambos os termos. Para fatorá-la, colocamos o número 2 em evidência:

$$2x+2y=2\cdot(x+y)$$

Observe que, do lado direito da igualdade, se aplicarmos a propriedade distributiva, iremos obter a expressão inicial.

Do mesmo modo, na expressão

$$2x+xy$$

a incógnita \(x\) é fator comum. Colocando-a em evidência:

$$2x+xy=x\cdot(2+y)$$

E, evidentemente, ao distribuirmos \(x\) na expressão à direita, chegamos a \(2x+xy\).

Porém, há casos de expressões que não são tão simples de identificar o fator comum. No caso de números, o fator comum será o mdc entre os coeficientes.

Por exemplo, fatoremos a expressão

$$20x+12y$$

Temos que

$$mdc(20,12)=4$$

ou seja, o fator comum dessa expressão é o número 4; e é ele que será colocado em evidência. Para calcular os termos de dentro dos parênteses, basta dividirmos cada termo da expressão inicial pelo fator comum:

$$\frac{20x}{4}=5x$$

e

$$\frac{12y}{4}=3y$$

Logo, a forma fatorada de \(20x+12y\) é

$$4\cdot(5x+3y)$$

E é claro que, ao aplicarmos a produtiva na expressão acima, obtemos a original.

Do mesmo modo, podemos fatorar a expressão

$$16x+8-24y$$

Observe que

$$mdc(16,8,24)=8$$

ou seja, o fator comum vale 8. E dividimos cada termo da expressão inicial pelo fator comum a fim de construirmos o que vem dentro dos parênteses na forma fatorada. Temos:

$$\frac{16x}{8}=2x,\quad\frac{8}{8}=1,\quad\frac{-24y}{8}=-3y$$

Portanto,

$$16x+8-24y=8\cdot(2x+1-3y)$$

Para o caso com incógnitas, tomamos aquela com o menor expoente. Assim, ilustremos tal fatoração com a expressão

$$2x^{3}+3x^{4}$$

Aqui, o fator comum será \(x^{3}\), pois é o termo de menor expoente. Para determinar os termos entre parênteses na forma fatorada, também dividimos cada termo da expressão inicial pelo fator comum:

$$\frac{2x^{3}}{x^{3}}=2$$

e

$$\frac{3x^{4}}{x^{3}}=3x$$

Logo,

$$2x^{3}+3x^{4}=x^{3}\cdot(2+3x)$$

Se quisermos fatorar

$$x^{4}+x^{3}+x^{6}$$

tomamos \(x^{3}\) como fator comum, pois o seu expoente é o menor entre os três. Dividindo cada termo por ele, temos

$$\frac{x^{4}}{x^{3}}=x,\quad\frac{x^{3}}{x^{3}}=1,\frac{x^{6}}{x^{3}}=x^{3}$$

Logo

$$x^{4}+x^{3}+x^{6}=x^{3}\cdot(x+1+x^{3})$$

E é evidente que, em uma expressão, o fator comum pode ser composto de números e letras. Se tomarmos a expressão

$$15x^{3}y^{5}-10x^{4}y^{2}+20xy^{3}$$

então

$$mdc(15,10,20)=5$$

e o menor expoente entre os \(x\) é

$$x$$

bem como entre os \(y\), é

$$y^{2}$$

Logo, o fator comum dessa expressão será o produto entre eles:

$$5xy^{2}$$

E, para determinar os termos entre os parênteses na forma fatorada, basta, mais uma vez, dividirmos cada termo da expressão original pelo fator comum encontrado.

$$\frac{15x^{3}y^{5}}{5xy^{2}}=3x^{2}y^{3},\quad\frac{-10x^{4}y^{2}}{5xy^{2}}=-2x^{3},\quad\frac{20xy^{3}}{5xy^{2}}=4y$$

Portanto,

$$15x^{3}y^{5}-10x^{4}y^{2}+20xy^{3}=5xy^{2}\cdot(3x^{2}y^{3}-2x^{3}+4y)$$

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Em termos simples, encontrar o fator comum envolve identificar o termo ou a expressão que é comum a todos os termos de uma expressão algébrica. Pode ser uma variável, um número ou uma combinação de ambos.

Ao identificar e fatorar esse elemento comum, você simplifica a expressão, tornando-a mais fácil de lidar e entender. É como reunir todas as partes que têm algo em comum e simplificar a equação, tornando a matemática um pouco menos assustadora

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