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Matemática

Poliedros

Marcus Vinicius
Publicado por Marcus Vinicius
Última atualização: 27/3/2019

Introdução

Chamamos de poliedros os sólidos geométricos cujas faces são polígonos. Os elementos de um poliedro são: arestaface e vértice.


Classificação de poliedros

Podemos classificar um poliedro como convexo ou não-convexo. Um poliedro é considerado convexo quando, dados quaisquer pontos no seu interior, ao tomarmos o segmento formado com extremidades nestes pontos, tal segmento estará contido totalmente no interior do poliedro:


Caso contrário, ele é chamado de poliedro não-convexo (ou côncavo).


Relação de Euler

Relação de Euler é uma igualdade que envolve o número \(V\) de vértices, \(A\) de arestas e \(F\) de faces de um poliedro convexo qualquer:

$$V-A+F=2$$

Por exemplo, vamos supor que tenhamos um poliedro formado por 4 faces triangulares e 6 faces quadrangulares. Deste modo, o número de faces é:

$$F=4+6=10$$

A princípio, o número de arestas é a soma da quantidade de arestas de cada face. Temos 4 faces que são triângulos, como cada triângulo tem 3 arestas, então temos:

$$4\cdot3=12$$ arestas;

e há 6 faces formados por quadriláteros, onde cada quadrilátero possui, evidentemente, 4 arestas:

$$6\cdot4=24$$ arestas.

Então, teríamos um total de:

$$12+24=36$$ arestas.

Note, porém, que no poliedro em si, cada aresta pertence, ao mesmo tempo, a duas faces, então a conta que acabamos de fazer conta duas vezes cada aresta. Para resolver esse problema, basta dividirmos por 2 o resultado obtido acima, ou seja:

$$A=\frac{36}{2}=18$$ é, de fato, o número de arestas do poliedro.

Agora, para determinar o número de vértices, basta usarmos a Relação de Euler:

$$V-A+F=2\Rightarrow V-18+10=2\Rightarrow V=10$$

Soma dos ângulos de um poliedro convexo

Se um poliedro convexo tiver \(V\) vértices, então a soma de todos os seus ângulos é

$$S=(V-2)\cdot360º$$

Poliedros de Platão

Um poliedro de Platão é aquele que satisfaz três condições:

  • todas as faces possuem a mesma quantidade de arestas;
  • o número de arestas que se encontram em cada vértice é o mesmo;
  • vale a Relação de Euler.
  • Existem cinco poliedros de Platão:

    NomeModelo de face\(V\)\(A\)\(F\)
    TetraedroTriangular464
    HexaedroQuadrangular8126
    OctaedroTriangular6128
    DodecaedroPentagonal203012
    IcosaedroTriangular123020

    Poliedro regular

    Um poliedro regular é todo poliedro de Platão cujas faces são polígonos regulares. Os cinco poliedros regulares são:

    • Tetraedro regular


    • Hexaedro regular

    • Octaedro regular
    • Dodecaedro regular

    • Icosaedro regular

    Fórmulas


    Exercícios

    Exercício 1
    (ENEM)

    Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruente a  um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler \(V- A+F=2\), em que \(V\), \(A\) e \(F\) são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.

    Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?

    Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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