Poliedros

São chamamos de poliedros os sólidos geométricos cujas faces são polígonos. Os elementos de um poliedro são: aresta, face e vértice.

Podemos classificar um poliedro como convexo ou não convexo.

Poliedro convexo

Um poliedro é considerado convexo quando, dados quaisquer pontos no seu interior, ao tomarmos o segmento formado com extremidades nestes pontos, tal segmento estará contido totalmente no interior do poliedro:

Poliedro não convexo

Caso o segmento tenha parte formada fora do poliedro, este é classificado como poliedro não convexo (ou côncavo).

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A Relação de Euler é uma igualdade que envolve o número \(V\) de vértices, \(A\) de arestas e \(F\) de faces de um poliedro convexo qualquer:

$$V-A+F=2$$

Por exemplo, vamos supor que tenhamos um poliedro formado por 4 faces triangulares e 6 faces quadrangulares. Deste modo, o número de faces é:

$$F=4+6=10$$

A princípio, o número de arestas é a soma da quantidade de arestas de cada face. Temos 4 faces que são triângulos, e como cada triângulo tem 3 arestas, então temos:

$$4\cdot3=12$$ arestas;

e há 6 faces formados por quadriláteros, onde cada quadrilátero possui, evidentemente, 4 arestas:

$$6\cdot4=24$$ arestas.

Então, teríamos um total de:

$$12+24=36$$ arestas.

Note, porém, que no poliedro em si, cada aresta pertence, ao mesmo tempo, a duas faces, então a conta que acabamos de fazer conta duas vezes cada aresta. Para resolver esse problema, basta dividirmos por 2 o resultado obtido acima, ou seja:

$$A=\frac{36}{2}=18$$ é, de fato, o número de arestas do poliedro.

Agora, para determinar o número de vértices, basta usarmos a Relação de Euler:

$$V-A+F=2\Rightarrow V-18+10=2\Rightarrow V=10$$

Se um poliedro convexo tiver \(V\) vértices, então a soma de todos os seus ângulos é

$$S=(V-2)\cdot360º$$

Um poliedro de Platão é aquele que satisfaz três condições:

• todas as faces possuem a mesma quantidade de arestas;
• o número de arestas que se encontram em cada vértice é o mesmo;
• vale a Relação de Euler.

Existem cinco poliedros de Platão:

Quais são os poliedros regulares?

Um poliedro regular é todo poliedro de Platão cujas faces são polígonos regulares. Os cinco poliedros regulares são:

• Tetraedro regular

• Hexaedro regular

• Octaedro regular
  
• Dodecaedro regular
  
• Icosaedro regular
  

Revisado por: Ferdinando Caíque Genghini Dantas Lobo

Formado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), com mestrado na área pela Profmat - Unicamp. Atua como professor de Matemática desde 2012, nos colégios Asther (Campinas-SP) e Villa Lobos (Amparo-SP).