Produto Cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos é definido, de forma simples, como um conjunto construído pelos pares ordenados envolvendo os elementos dos dois conjuntos acima citados.

Ficou confuso, certo? Para entendermos melhor o produto cartesiano, precisamos conhecer os conceitos de par ordenado e diagrama de flechas antes.

O par ordenado é um conjunto de dois elementos, onde a ordem interfere na elaboração do conjunto. Exemplificando, o par ordenado (1; 3) é diferente do (3; 1). Podemos representar os pares ordenados de duas formas: no plano cartesiano e no diagrama de flechas.

Representação do par ordenado (4; 6) no plano cartesiano

Representação do par ordenado (4; 6) no diagrama de flechas. Veja que o elemento 4 pertence ao conjunto A e o elemento 6 ao conjunto B

Vale ressaltar que o diagrama de flechas nos auxilia de forma muito clara na construção do produto cartesiano, como veremos a seguir.

Vamos definir formalmente o que é o produto cartesiano. Assim, supondo um conjunto A e um conjunto B, o produto cartesiano destes dois conjuntos é um outro conjunto composto pelos pares ordenados (x; y), sendo que \(x\in A \ e \ y\in B\). Matematicamente, temos:

\(A\times B=(x; y)|x\in A \ e \ y\in B\)

Exemplo 1) Considerando A={1;3;4} e B={2;3}, determine os produtos cartesianos A x B e A x A.

Solução: ilustrando o caso A x B pelo diagrama de flechas:

Assim, combinando os elementos, temos que:

\(A\times B=\{(1; 2);(3;2);(4;2);(1;3);(3;3);(4;3)\}\)

Já para o caso A x A:

\(A\times B=\{(1; 1); (1; 3); (1; 4); (3; 1); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 3); (4; 4)\}\)

Algumas propriedades do produto cartesiano são interessantes de conhecer, pois podem facilitar a compreensão do conceito. Veja abaixo quais são elas!

• \(A\times B\neq B\times A \ (sendo \ que \ A\neq B\neq \varnothing )\)
• \(A\times \varnothing =\varnothing\) 
• Se o conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui q elementos, então o produto cartesiano A x B possui \(p\cdot q\) elementos.

Lembre-se que \(\varnothing\) é o conjunto vazio!

Exemplo 2) Qual o número de elementos do produto cartesiano entre A={1; 2; 3} e B={1; 2; 3}?

Solução: de acordo com a propriedade, temos:

\(3\cdot 3=9 \ elementos\)

O produto cartesiano, assim como o par ordenado, são conceitos básicos na matemática. São eles que auxiliam e propiciam a elaboração de gráficos dos mais diversos, gráficos estes usados extensivamente em diversas áreas de trabalho, como engenharia, economia, medicina, química e assim por diante. É importante não subestimar conteúdos básicos da matemática pois é em razão deles que os problemas mais complexos podem ser resolvidos!