Relações de Girard: o que são, propriedades e exemplos

As Relações de Girard são ferramentas matemáticas fundamentais que estabelecem conexões valiosas entre as raízes de uma equação polinomial e os coeficientes do próprio polinômio. Essas relações são de extrema importância para a resolução de equações de diversos graus, permitindo-nos compreender as relações entre as raízes e os coeficientes de maneira mais profunda e eficiente.

Relações de Girard podem ser expressadas para quaisquer equações algébricas. Porém, em geral, nos exercícios, as equações envolvidas são as de 3º e 4º graus e, em raros casos, de 5º grau. Assim, iremos detalhar apenas as Relações de Girard para as equações algébricas de 3º e 4º graus.

As Relações de Girard são um conjunto de fórmulas que relacionam as raízes de uma equação polinomial com os coeficientes dos termos do polinômio. Elas são úteis para calcular as raízes de equações polinomiais de grau maior ou igual a 2.

Essas relações possuem um padrão em suas construções, independentemente do grau das equações.

Considerando-se uma equação algébrica de grau qualquer onde o coeficiente do expoente de maior grau é \(a\), do seguinte é \(b\), do próximo é \(c\) e assim por diante:

$$ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dx^{n-3}+ex^{n-4}+\ldots=0$$

Então, temos que:

• As Relações de Girard são sempre dadas por frações, de modo que o denominador é igual a \(a\);
• A primeira relação de Girard é sempre a soma de todas as raízes;
• A segunda relação é igual à soma entre todos os possíveis produtos entre duas raízes;
• Já a terceira, é a soma entre todos os possíveis produtos entre três raízes;
• Tal processo segue o mesmo padrão, de modo que a última relação de Girard é igual ao produto de todas as raízes da equação;
• As Relações de Girard trocam de sinal a cada expressão, onde a primeira sempre tem sinal negativo. Deste modo, a segunda tem sinal positivo, a terceira, negativo, e assim por diante;
• A primeira relação de Girard começa com a segunda letra, isto é, \(b\); as próximas, seguem a ordem alfabética.

As Relações de Girard para equações polinomiais são:

Soma das raízes: A soma das raízes de uma equação polinomial de grau n é dada por:

$$Soma = =-\frac{b}{a}$$

Onde: 

• a é o coeficiente do termo de maior grau
• b é o coeficiente do termo de grau n-1.

Produto das raízes: O produto das raízes de uma equação polinomial de grau n é dado por:

$$Produto=(-1)^{n}\cdot\frac{c}{a}$$

Onde:

• a é o coeficiente do termo de maior grau
• c é o coeficiente do termo independente

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O caso mais simples e o primeiro que costumamos estudar é o de soma e produto em uma equação do segundo grau. Isto é, tomando a forma geral da equação quadrática:

$$ax^{2}+bx+c=0$$

E, se \(r_{1}\) e \(r_{2}\) forem suas raízes, então:

$$r_{1}+r_{2}=-\frac{b}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}=\frac{c}{a}$$

As Relações de Girard para equações de Terceiro Grau envolvem as relações entre as raízes de uma equação cúbica (polinômio de terceiro grau) e os coeficientes do polinômio. Para uma equação cúbica da forma:

$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$

Com as raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), então as Relações de Girard são:

$$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{3}=\frac{c}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}$$

As Relações de Girard para equações de Quarto Grau envolvem as relações entre as raízes de uma equação polinomial de quarto grau e os coeficientes do polinômio. Para uma equação da forma:

$$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$$

Com as raízes \(r_{1},r_{2},r_{3}\) e \(r_{4}\), então as Relações de Girard são:

$$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-\frac{b}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}+r_{1}\cdot r_{3}+r_{1}\cdot r_{4}+r_{2}\cdot r_{3}+r_{2}\cdot r_{4}+r_{3}\cdot r_{4}=\frac{c}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}+r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{4}+r_{1}\cdot r_{3}\cdot r_{4}+r_{2}\cdot r_{3}\cdot r_{4}=-\frac{d}{a}$$

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}\cdot r_{4}=\frac{e}{a}$$

Uma pergunta pertinente é: quando se sabe que devem ser utilizadas as Relações de Girard? Em geral, é quando o exercício fala da soma e/ou do produto entre as raízes da equação.

Produto das Raízes

Por exemplo, na equação:

$$3x^{3}-2x^{2}+5x+1=0$$

Se quisermos calcular o produto das raízes, não precisamos calcular cada raiz e, ao fim, efetuar o que se pede, basta usarmos uma das Relações de Girard.

Sendo as raízes \(r_{1},r_{2}\) e \(r_{3}\), temos que o produto entre elas vale:

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}$$

Onde \(a=3\) e \(d=1\), ou seja:

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{1}{3}$$

Solução de uma equação

Também podemos usar as Relações de Girard para resolver uma equação. Considerando-se:

$$x^{3}-5x^{2}+2x+4=0$$

E sabendo que uma das raízes vale 2, então podemos facilmente achar as outras duas. Chamando \(r_{1}=2\), temos que:

$$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\frac{b}{a}\Rightarrow 2+r_{2}+r_{3}=-\frac{(-5)}{1}$$

Ou seja:

$$r_{2}+r_{3}=3$$

E ainda:

$$r_{1}\cdot r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{d}{a}\Rightarrow 2\cdot  r_{2}\cdot r_{3}=-\frac{4}{1}$$

Isto é:

$$r_{2}\cdot r_{3}=-2$$

Assim, para achar as raízes \(r_{2}\) e \(r_{3}\), basta resolvermos o sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} r_{2}+r_{3}=3 \\ r_{2}\cdot r_{3}=-2 \end{array}\right.$$

O que nos dá:

$$r_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2},\quad r_{3}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$$

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