Relações métricas no triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo de 90º (ângulo reto), como mostra a figura abaixo.

Triângulo retângulo.

Esse polígono possui diversas relações envolvendo seus lados e ângulos (ou seja as relações métricas, relações estas que abrangem as medidas do triângulo!), as quais costumam ser extensivamente cobradas em provas e vestibulares. Vamos aprender quais são elas?

A partir das figuras 2 e 3 a seguir, é possível notar os principais elementos que fazem parte das relações métricas no triângulo retângulo. Na figura 2, temos um triângulo retângulo sozinho, enquanto na figura 3, vemos um triângulo retângulo sendo dividido em outros dois triângulos também retângulos, a partir da altura h. Observe:

Elementos do triângulo retângulo.

Assim, temos que:

• a: hipotenusa
• b, c: catetos
• \(\hat{B}, \hat{C}\): ângulos, sendo que \(\hat{B}+\hat{C}=90^{\circ}\)

Triângulo retângulo dividido pela altura h.

Já, para a figura 3, a nomenclatura dos elementos é:

• h: altura relativa à hipotenusa (nesse caso, a hipotenusa a)
• m: projeção do cateto b em relação ao segmento \(\overline{BC}\)
• n: projeção do cateto c em relação ao segmento \(\overline{BC}\)

Como já sabemos o que significa cada elemento, podemos tirar algumas conclusões (as relações métricas) com base na semelhança de triângulos! Nesse sentido, utilizaremos três triângulos retângulos: \(\Delta ABC, \ \Delta ACD, \ \Delta ABD\). Assim, veja que:

• \(\Delta ABC \ e \  \Delta ABD\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{c}{h}\Rightarrow ah=bc\)
• \(\Delta ACD \ e \ \Delta ABD\Rightarrow \frac{h}{n}=\frac{m}{h}\Rightarrow h^{2}=mn\)
• \(\Delta ABC \ e \ \Delta ACD\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{m}\Rightarrow b^{2}=ma\)
• \(\Delta ABC \ e \ \Delta ABD\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{c}{n}\Rightarrow c^{2}=na\)

Além dessas relações, a partir das fórmulas \(b^{2}=ma \ e \ c^{2}=na\) descobertas, é possível obter o famoso Teorema de Pitágoras!

\(b^{2}+c^{2}=ma+na\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(m+n)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(a)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}\)

Por fim, no caso de um triângulo retângulo com catetos b e c e altura h (altura essa relativa à hipotenusa), vale também a seguinte relação:

\(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{h^{2}}\)

É importante ressaltar que a nomenclatura das fórmulas das relações métricas do triângulo retângulo podem variar bastante dependendo do exercício. Assim, é recomendado que o aluno aprenda as fórmulas se baseando pelos conceitos e entendendo de onde a relação se origina. Lembre que é sempre mais interessante deduzir as fórmulas do que simplesmente decorá-las!

Bom, agora que toda a teoria foi vista, vamos dar uma olhada em alguns exemplos?

Exemplo 1) Qual o valor de x no triângulo a seguir?

Triângulo do exemplo 1.

Resolução: podemos usar o Teorema de Pitágoras.

\(7^{2}+x^{2}=(x+3)^{2}\Rightarrow 49+x^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 3+3^{2}\Rightarrow 6x=49-9\Rightarrow x=\frac{40}{6}\Rightarrow x=\frac{20}{3}\)

Exemplo 2) No triângulo retângulo isósceles abaixo, o perímetro vale 2p. Determine a altura h.

Triângulo do exemplo 2.

Resolução: por Pitágoras, vemos que:

\(BC^{2}=y^{2}+y^{2}\Rightarrow BC=\sqrt{2y^{2}}\Rightarrow BC=y\sqrt{2}\)

Além disso, pelas relações métricas do triângulo retângulo, temos:

\(hy\sqrt{2}=y^{2}\Rightarrow h=\frac{y}{\sqrt{2}}\Rightarrow racionalizando\Rightarrow h=\frac{y}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Rightarrow h=\frac{y\sqrt{2}}{2}\)

Determinando y pelo perímetro:

\(2p=y+y+y\sqrt{2}\Rightarrow 2p=y(2+\sqrt{2})\Rightarrow y=\frac{2p}{(2+\sqrt{2})}\Rightarrow racionalizando\Rightarrow y=\frac{2p}{(2+\sqrt{2})}\cdot \frac{(2-\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})}\Rightarrow y=\frac{2p(2-\sqrt{2})}{2}\Rightarrow y=p(2-\sqrt{2})\)

Portanto:

\(h=\frac{p(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{2}\Rightarrow h=p(\sqrt{2}-1)\)