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Matemática

Teorema

Matheus Lemes
Publicado por Matheus Lemes
Última atualização: 26/3/2019

Introdução

Teoremas são proposições que possuem demonstrações e, assim, podem ser comprovadas como verdadeiras. Nesse sentido, um teorema deriva de um processo lógico, conhecido como sistema axiomático. Portanto, envolve informações mais complexas e resulta em conclusões mais concretas e detalhadas.

A palavra “teorema” vem do grego “eopeo”, que significa “penso, medito”.

Sistema axiomático

Um sistema axiomático é qualquer conjunto de axiomas que podem ser ligados em conjunção para, logicamente, derivar teoremas. Na figura abaixo, é apresentado um esquema do sistema axiomático.

O sistema começa com os conceitos primitivos, os quais são óbvios através de uma simples observação. Os axiomas (ou postulados) são as conclusões evidentes dos conceitos primitivos.

Derivando para as definições, temos que elas são informações mais elaboradas, que servem como explicação para novos elementos de uma determinada teoria.

Por fim, o teorema é a informação mais complexa, já que ele envolve todo o raciocínio das informações anteriores, além de possuir uma aplicação mais concreta, como já foi explicado.

Nesse sentido, todo teorema deve possuir uma explicação mais completa e detalhada, ou seja, uma demonstração.

Estruturação do teorema

Podemos estruturar o teorema da seguinte forma:

  • Hipótese: é o conjunto de todas as informações iniciais;
  • Demonstração: é o conjunto de raciocínios baseados na hipótese ou em outros resultados pertinentes;
  • Tese: resultado obtido da demonstração e aceito como verdadeiro.

Exemplos de teoremas

Vamos listar alguns exemplos de teoremas matemáticos na área da geometria plana:

  • Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a \(180^{\circ}\);
  • Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais;

Outro exemplo que não é necessariamente parte da geometria plana é:

  • As raízes da equação \(ax^{2}+bx+c=0\), com \(a\neq 0\), são dadas por \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\);

Demonstrando um teorema

Há, basicamente, dois métodos para demonstrar um teorema. Vejamos quais são e como funcionam:

Método direto

Com este método, usa-se todos os dados da hipótese, além de outros resultados pertinentes. A partir de uma sequência lógica de ideias, conclui-se o resultado, que é a tese.

Exemplo 1:

  • Hipótese: considere um triângulo qualquer de ângulos internos de medidas \(\hat{A}, \hat{B} e \hat{C}\).
  • Tese: \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\)
  • Demonstração:

    

Temos um triângulo ABC qualquer (definição). Vemos que \(r//\overline{BC}\) (postulado de Euclides), \(\alpha =\hat{C}\) e \(\beta =\hat{B}\) (teorema das paralelas). Além disso, observe que \(\hat{A}+\alpha +\beta =180^{\circ}\) (ângulo raso). Assim, das informações anteriores, concluímos que \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\).

Método indireto

Também conhecido como método de redução ao absurdo, ele utiliza a negação da tese para chegar a uma contradição da hipótese ou de alguma verdade matemática.

Exemplo 2:

  • Hipótese: \(“a” e “b” \in \mathbb{R}_{+}\)
  • Tese: \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
  • Demonstração: começamos negando a tese até chegar em algum absurdo, observe:

\(\frac{a+b}{2}< \sqrt{ab}\rightarrow a+b< 2\sqrt{ab}\rightarrow a-2\sqrt{ab}+b< 0\rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}< 0\)

Nota-se que a conclusão é um absurdo, já que nenhum número real ao quadrado pode ser negativo. Assim, \(\frac{a+b}{2}< \sqrt{ab}\) é falso e \(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\) é verdadeiro.

Referências

Apostila Poliedro de matemática nível vestibular.


Exercícios

Exercício 1
(Quero Bolsa)

A estruturação de um teorema se dá por:

Ilustração: Rapaz corpulento de camiseta, short e tênis acenando

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