Triângulo isósceles

Um triângulo isósceles é aquele em que dois lados do triângulo são congruentes (ou seja, de mesma medida). Essa classificação é feita a partir dos lados do triângulo, desse modo, podemos dividi-lo também em escaleno (três lados não congruentes, ou seja, todos os lados têm medidas diferentes entre si) e equilátero (três lados congruentes, ou seja, todos os lados têm a mesma medida).

Classificação do triângulo quanto aos lados.

Vamos ver quais são os elementos que compõe o triângulo isósceles!

Elementos do triângulo isósceles.

• A base do triângulo isósceles é dada por \(\overline{AC}\);
• A mediana é dada por \(\overline{BM}\);
• Vemos que a mediana é a altura do triângulo. Portanto, \(\overline{BM}\) é a altura;
• Os lados congruentes são \(\overline{AB}\) e \(\overline{BC}\).

A partir dos elementos e da construção do triângulo isósceles, podemos notar que existem algumas propriedades importantes neste polígono! Observe a figura 2 e note que:

• Os ângulos da base são iguais (já que os lados congruentes são \(\overline{AB}\) e \(\overline{BC}\)): \(B\hat{A}C\) e \(B\hat{C}A\);
• O segmento \(\overline{BM}\) divide a base do triângulo pela metade: \(\overline{MA}=\overline{MC}\);
• O segmento \(\overline{BM}\) é a bissetriz do ângulo \(A\hat{B}C\): \(A\hat{B}M=C\hat{B}M\);
• O segmento \(\overline{BM}\) também se mostra como um eixo de simetria, dividindo o triângulo em duas partes iguais.

Exemplo 1) Um triângulo isósceles possui lados medindo 2x+1, 3x, x+5. Determine os possíveis valores de x.

Resolução: O enunciado nos informou que o triângulo é isósceles mas não disse qual dos lados é igual ao outro. Assim, devemos calcular todas as possibilidades e determinar todos os possíveis valores de x.

Possibilidade 1) \(2x+1=3x\rightarrow x=1\)

Possibilidade 2) \(2x+1=x+5\rightarrow x=4\)

Possibilidade 3) \(3x=x+5\rightarrow x=\frac{5}{2}\)

Assim, o conjunto solução do problema é \(S=\{1; 4; \frac{5}{2}\}\)

Exemplo 2) Se um triângulo isósceles possui ângulo oposto ao lado de medida diferente igual a 55º, qual o valor dos outros dois ângulos?

Resolução: Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º. Como no triângulo isósceles os ângulos entre os lados iguais e o lado diferentes são congruentes (vamos chamar estes ângulos de \(\alpha\)), temos que:

\(2\alpha +55=180\rightarrow 2\alpha =125\rightarrow \alpha=62,5^{\circ}\)

A área do triângulo isósceles é calculada como a de qualquer outro triângulo, ou seja, base vezes altura dividido por dois:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

Exemplo 3) Qual a área de um triângulo isósceles ABC com o lado \(\overline{AB}=\overline{BC}=5\) cm e base \(\overline{AC}= 4\) cm?

Resolução: Para calcular a área, precisamos da base e da altura. Como já temos a medida da base, vamos usar o teorema de Pitágoras para calcular a altura do triângulo.

Nesse sentido, temos:

\(\overline{MC}^{2}+\overline{MB}^{2}=\overline{BC}^{2}\rightarrow 2^{2}+\overline{MB}^{2}=5^{2}\rightarrow \overline{MB}=\sqrt{25-4}\rightarrow \overline{MB}=\sqrt{21} \ cm\)

Como o segmento \(\overline{MB}\) é a altura do nosso triângulo, podemos calcular a sua área.

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\rightarrow A=\frac{4\cdot \sqrt{21}}{2}\rightarrow A=2\sqrt{21} \ cm\)