Trinômio quadrado perfeito

O trinômio quadrado perfeito é um dos casos que mais aparecem na fatoração de expressões algébricas. Como o seu nome diz, ele consiste de expressões que possuem três termos e que podem ser escritas como um quadrado perfeito.

Por exemplo:

$$x^{2}-6x+9$$

A expressão acima é um trinômio quadrado perfeito, pois, além de ter evidentemente três termos, podemos reescrevê-la como:

$$(x-3)^{2}$$

Isto é, a expressão inicial é equivalente à outra elevada ao quadrado, ou seja, é um quadrado perfeito.

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O processo de fatoração de um trinômio quadrado perfeito consiste em exatamente isto: reescrever a expressão inicial como um quadrado perfeito.

Para tal, a expressão deve estar na forma:

• $$a^{2}+2ab+b^{2}$$
• $$a^{2}-2ab+b^{2}$$

Isto é, os termos nos extremos são quadrados perfeitos.

Então, tomemos novamente a expressão:

$$x^{2}-6x+9$$

Observe que os termos dos extremos são:

• $$x^{2}$$
• $$9$$

Estes são quadrados perfeitos, pois podemos extrair a raiz quadrada deles:

$$\sqrt{x^{2}}=x,\quad\sqrt{9}=3$$

Observe, ainda, que o termo do meio, \(6x\), corresponde ao dobro do produto dos valores calculados acima:

$$6x=2\cdot x\cdot3$$

Portanto, de fato, a expressão \(x^{2}-6x+9\) é um trinômio quadrado perfeito. E, para fatorá-la, o processo é simples. Tomando-se os valores encontrados quando extraímos a raiz quadrada \(x\) e \(3\), então a sua fatoração irá usá-los, ficando da seguinte maneira:

$$(x-3)^{2}$$

O sinal de menos vem do fato que, na expressão inicial $$x^{2}-6x+9$$, o termo do meio \(6x\) tem sinal negativo. E o elevado ao quadrado decorre do desenvolvimento de \((x-3)^{2}\), isto é, se resolvermos o quadrado desta diferença chegaremos à expressão inicial.

Assim, se quisermos fatorar a expressão $$x^{2}+6x+9$$, o processo será idêntico ao que fizemos anteriormente. Há um único porém: o termo do meio aqui tem sinal positivo, logo, a fatoração fica:

$$(x+3)^{2}$$

Vamos fatorar agora a seguinte expressão:

$$4x^{2}+4x+1$$

Observe que os termos dos extremos são quadrados perfeitos e suas raízes valem:

$$\sqrt{4x^{2}}=2x,\quad\sqrt{1}=1$$

E, ainda, o termo do meio é o dobro do produto entre eles:

$$4x=2\cdot2x\cdot1$$

Portanto, a expressão inicial é, de fato, um trinômio quadrado perfeito. Como o sinal do termo mediano é positivo, segue que sua fatoração será:

$$(2x+1)^{2}$$

A fatoração do trinômio quadrado perfeito $$t^{2}-10t+25$$ é:

$$(t-5)^{2}$$

Pois os termos dos extremos são quadrados perfeitos tais que:

$$\sqrt{t^{2}}=t,\quad\sqrt{25}=5$$

E o termo do meio \(10t=2\cdot t\cdot5\) tem sinal negativo.

Em linhas mais gerais, temos que a fatoração do trinômio quadrado perfeito pode ser aplicada em dois casos:

• $$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$$
• $$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$

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