Produtos Notáveis

É comum que uma expressão algébrica se apresente muito complicada, dificultando a resolução de problemas envolvendo a álgebra. Por exemplo, observe a expressão a seguir:

\(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

Claramente, esta é uma expressão confusa onde os termos a e b estão “misturados” na expressão. Porém, se usarmos o conceito de produtos notáveis, podemos simplificar a expressão para a seguinte forma:

\((a+b)^{3}\)

Portanto:

\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

Assim, para entender produtos notáveis, é preciso conhecer sobre fatoração. Fatorar uma expressão algébrica significa colocar esta expressão na forma de um produto.

Visto isso, vamos ver quais são os principais produtos notáveis que costumam cair nas provas e vestibulares?

Temos dois tipos de quadrados perfeitos: soma e diferença.

• Quadrado da soma:

\((a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

Portanto:

\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

• Quadrado da diferença:

\((a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ba+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)

    Portanto:

\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)

Exemplo 1) 

\((3y+4x)^{2}=(3y)^{2}+2\cdot (3y)\cdot (4x)+(4x)^{2}=9y^{2}+24yx+16x^{2}\)

Perceba que, neste caso, a=3y e b=4x.

Exemplo 2) 

\(4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x)^{2}+2\cdot (2x)\cdot y+y^{2}=(2x+y)^{2}\)

Note que é importante saber realizar o processo inverso também!

A diferença de quadrados é:

\(a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)\)

Demonstração:

\((a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\)

Exemplo 3) Racionalize o denominador da expressão \(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\).

Solução: para racionalizar a expressão (ou seja, eliminarmos a raiz do denominador), devemos multiplicar o denominador pelo seu conjugado. Assim:

\(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\)

Repare que usamos a diferença de quadrados!

Esse artifício consiste em fatorar um trinômio do 2º grau que, não necessariamente, é um quadrado perfeito.

\(x^{2}+(a+b)x+ab=x^{2}+ax+bx+ab=x(x+a)+b(x+a)=(x+a)\cdot (x+b)\)

Portanto, concluímos que:

\(x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)\cdot (x+b)\)

Exemplo 4) Determine os números para que seja possível utilizar o produto de Stevin na expressão \(x^{2}-x-12\).

Solução: se compararmos as expressões vemos que:

(a+b)=-1

ab=-12

Assim, notamos que a e b podem assumem os valores -4 e 3, pois -4+3=-1 e 3.(-4)=-12. Então:

\(x^{2}-x-12=(x-4)\cdot (x+3)\)

Neste caso, podemos ter o cubo da soma e o cubo da diferença como produtos notáveis. Observe.

• Cubo da soma:

\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

• Cubo da diferença:

\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

• Soma de cubos:

\(a^{3}+b^{3}=(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})\)

• Diferença de cubos:

\(a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})\)

Como foi visto, é possível perceber que os produtos notáveis são basicamente fatorações. É muito interessante ter eles em mente na hora da resolução dos exercícios, pois assim é possível economizar tempo na hora da prova ou do vestibular!

Porém, é extremamente importante que o aluno tenha entendido o conceito por trás do produto notável, não decorando apenas as fórmulas apresentadas.