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Índice
Introdução
É comum que uma expressão algébrica se apresente muito complicada, dificultando a resolução de problemas envolvendo a álgebra. Por exemplo, observe a expressão a seguir:
\(a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
Claramente, esta é uma expressão confusa onde os termos a e b estão “misturados” na expressão. Porém, se usarmos o conceito de produtos notáveis, podemos simplificar a expressão para a seguinte forma:
\((a+b)^{3}\)
Portanto:
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
Assim, para entender produtos notáveis, é preciso conhecer sobre fatoração. Fatorar uma expressão algébrica significa colocar esta expressão na forma de um produto.
Visto isso, vamos ver quais são os principais produtos notáveis que costumam cair nas provas e vestibulares?
Principais conclusões
- Produtos notáveis são fórmulas algébricas padronizadas que transformam polinômios entre as formas expandida e fatorada; exemplos clássicos incluem quadrado da soma/diferença, diferença de quadrados, cubos e soma/diferença de cubos, usados para simplificar expressões.
- Funcionam por identidades algébricas: identifica-se a e b na expressão e aplica-se a fórmula correspondente (por exemplo (a+b)² ou a²-b²=(a+b)(a-b)); permitem expandir, fatorar trinomiais e racionalizar denominadores usando o conjugado.
- Contexto: produtos notáveis emergem do estudo da fatoração e são base do ensino algébrico no ensino médio; servem de ponte entre aritmética e álgebra, sustentando a resolução de equações, manipulação de polinômios e aplicações práticas em ciências exatas.
- Para o ENEM, evite decorar sem entender: erros comuns ocorrem por troca de sinais, coeficientes ou identificação errada de a e b; pratique fatoração inversa, uso de conjugados e reconhecimento de padrão para economizar tempo em questões interdisciplinares.
- Domínio prático: aplicar produtos notáveis acelera a resolução, facilita fatoração de polinômios, racionalização de denominadores e solução de equações, reduzindo tempo em provas e ampliando eficiência em modelagem e problemas algébricos.
Quadrados perfeitos
Temos dois tipos de quadrados perfeitos: soma e diferença.
- Quadrado da soma:
\((a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
Portanto:
\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
- Quadrado da diferença:
\((a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab-ba+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
Portanto:
\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
Exemplo 1)
\((3y+4x)^{2}=(3y)^{2}+2\cdot (3y)\cdot (4x)+(4x)^{2}=9y^{2}+24yx+16x^{2}\)
Perceba que, neste caso, a=3y e b=4x.
Exemplo 2)
\(4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x)^{2}+2\cdot (2x)\cdot y+y^{2}=(2x+y)^{2}\)
Note que é importante saber realizar o processo inverso também!
Diferença de quadrados
A diferença de quadrados é:
\(a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)\)
Demonstração:
\((a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\)
Exemplo 3) Racionalize o denominador da expressão \(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\).
Solução: para racionalizar a expressão (ou seja, eliminarmos a raiz do denominador), devemos multiplicar o denominador pelo seu conjugado. Assim:
\(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}\)
Repare que usamos a diferença de quadrados!
Produto de Stevin
Esse artifício consiste em fatorar um trinômio do 2º grau que, não necessariamente, é um quadrado perfeito.
\(x^{2}+(a+b)x+ab=x^{2}+ax+bx+ab=x(x+a)+b(x+a)=(x+a)\cdot (x+b)\)
Portanto, concluímos que:
\(x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)\cdot (x+b)\)
Exemplo 4) Determine os números para que seja possível utilizar o produto de Stevin na expressão \(x^{2}-x-12\).
Solução: se compararmos as expressões vemos que:
(a+b)=-1
ab=-12
Assim, notamos que a e b podem assumem os valores -4 e 3, pois -4+3=-1 e 3.(-4)=-12. Então:
\(x^{2}-x-12=(x-4)\cdot (x+3)\)
Cubos perfeitos
Neste caso, podemos ter o cubo da soma e o cubo da diferença como produtos notáveis. Observe.
- Cubo da soma:
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
- Cubo da diferença:
\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)
Soma e diferença de cubos
- Soma de cubos:
\(a^{3}+b^{3}=(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})\)
- Diferença de cubos:
\(a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot (a^{2}+ab+b^{2})\)
Considerações finais
Como foi visto, é possível perceber que os produtos notáveis são basicamente fatorações. É muito interessante ter eles em mente na hora da resolução dos exercícios, pois assim é possível economizar tempo na hora da prova ou do vestibular!
Porém, é extremamente importante que o aluno tenha entendido o conceito por trás do produto notável, não decorando apenas as fórmulas apresentadas.
Fórmulas
Exercício de fixação
Exercícios sobre Produtos Notáveis para vestibular
Quero Bolsa
A expressão \((3a-2)^{2}\) é igual a:
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