Você já se perguntou quantas maneiras diferentes podem organizar um conjunto de objetos, especialmente quando alguns deles são idênticos? Esse é o fascinante mundo da “permutação com repetição”.
A permutação, em sua essência, refere-se à arte de organizar ou rearranjar objetos em uma ordem específica. É um conceito fundamental na matemática e tem uma vasta gama de aplicações, desde a resolução de quebra-cabeças até a análise de sequências genéticas.
Mas quando introduzimos a ideia de repetição, a permutação adquire uma dimensão adicional, tornando-se ainda mais intrigante. Neste artigo, você irá entender profundamente esse conceito, desvendando seus mistérios e explorando suas aplicações práticas. Confira!
O que é permutação com repetição?
A permutação é um conceito matemático que se refere à organização de objetos em uma ordem específica. No entanto, quando se trata de permutação com repetição, é uma situação especial. Imagine que você tenha um conjunto de objetos, mas alguns deles são idênticos. Nesse caso, as maneiras de organizar esses objetos se multiplicam, pois a repetição de certos elementos permite diferentes combinações.
Para diferenciar, pense em uma permutação simples, onde todos os objetos são distintos. Por exemplo, se tivermos três letras diferentes, A, B e C, as permutações possíveis são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. No entanto, se tivermos duas letras A e uma letra B (A, A, B), a permutação com repetição nos dá apenas três combinações possíveis: AAB, ABA e BAA.
Exemplos práticos de permutação com repetição
Para ilustrar ainda mais, pense em uma senha numérica de 4 dígitos. Se cada dígito puder ser qualquer número de 0 a 9, e os números puderem ser repetidos, temos uma situação de permutação com repetição. Assim, a senha 1122 é tão válida quanto 1234.
Outro exemplo cotidiano é a combinação de cores em um vestuário. Se você tem três camisetas de cores diferentes, mas duas calças da mesma cor, as combinações de roupas que você pode criar são um exemplo de permutação com repetição.
Fórmula da Permutação com Repetição
A fórmula para calcular a permutação com repetição é dada por:
P(n;n1,n2,…nk)=n!/(n1!∗n2!∗…nk!)
Onde:
n é o número total de objetos.
n1,n2,…nk são os números de objetos idênticos de cada tipo.
Esta fórmula destaca a importância da repetição no cálculo da permutação, permitindo entender quantas combinações diferentes é possível obter considerando os objetos repetidos.
Confira um exemplo ilustrativo para entender a aplicação da fórmula. Suponha que você tenha um conjunto de 5 letras: A, A, B, B e C.
Identifique o número total de objetos (n). Neste caso, n = 5.
Identifique o número de objetos idênticos de cada tipo. Aqui, temos 2 letras A, 2 letras B e 1 letra C. Portanto, n1=2,n2=2 e n3=1.
Substitua os valores na fórmula:
P(5;2,2,1)=5!/(2!∗2!∗1!)
Resolvendo, é possível obter 30 combinações possíveis.
Anagramas e permutação com letras repetidas
Os anagramas são palavras ou frases formadas pela reorganização das letras de uma palavra ou frase, usando todas as letras originais exatamente uma vez. Quando lidamos com palavras que têm letras repetidas, estamos novamente no território da permutação com repetição.
Por exemplo, a palavra “ANNA” tem duas letras A e duas letras N. As combinações ou anagramas possíveis dessa palavra são um exemplo de permutação com repetição.
Exemplos de anagramas com letras repetidas
Vamos considerar a palavra inglesa “BALLOON”. Ela tem 2 letras L e 2 letras O, enquanto as letras B, A e N aparecem uma vez.
Os anagramas possíveis para “BALLOON”, considerando a repetição, incluem “LOONBAL”, “OOLLBAN”, “BOLLONA” e muitos outros. A fórmula de permutação com repetição pode ser usada para determinar o número total de anagramas possíveis para qualquer palavra, especialmente aquelas com letras repetidas.
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Permutação circular: O que é e quando usar
Enquanto a permutação com repetição permite entender as combinações possíveis de um conjunto de objetos com elementos idênticos, a permutação circular introduz uma nova dimensão ao conceito de organização.
Imagine um grupo de pessoas sentadas em uma mesa redonda. A ordem em que elas estão sentadas pode ser vista como uma permutação circular, pois a posição inicial pode variar, mas a sequência relativa permanece a mesma.
Diferentemente da permutação com repetição, onde a ordem absoluta dos objetos é crucial, na permutação circular, é a ordem relativa que importa. Por exemplo, ABCD e BCDA podem ser consideradas a mesma permutação em um contexto circular, mas seriam diferentes em uma permutação linear.
As aplicações da permutação circular são vastas, desde a organização de torneios esportivos, onde a ordem dos jogos pode ser vista como uma sequência circular, até a análise de estruturas moleculares em química, onde os átomos podem ser organizados de forma circular.
Exercícios e aplicações práticas
Para solidificar seu entendimento sobre permutação com repetição e permutação circular, conheça alguns exercícios práticos:
1) Quantas combinações diferentes podemos obter ao organizar as letras A, B e C em uma linha reta? E em um círculo?
Solução: Na linha reta, temos 3! (ou seja, 3 x 2 x 1) = 6 combinações possíveis. Em um círculo, temos (3-1)! = 2 combinações, pois a ordem relativa é o que importa.
2) Dado um conjunto de letras A, A, B, B e C, quantas permutações diferentes podemos formar?
Solução: Usando a fórmula de permutação com repetição, temos 5! / (2! * 2! * 1!) = 30 combinações possíveis.
Exemplos de permutação com repetição
Confira mais exemplos para entender melhor a permutação com repetição:
1) Considere uma senha numérica de 3 dígitos, onde cada dígito pode ser qualquer número de 0 a 2. Quantas combinações diferentes podemos ter se os números puderem ser repetidos? Solução: Como cada dígito tem 3 opções possíveis e pode ser repetido, temos 3 x 3 x 3 = 27 combinações possíveis.
2) Dado um conjunto de letras A, A, B e C, quantas permutações diferentes podemos formar? Solução: Usando a fórmula de permutação com repetição, temos 4! / (2! * 1! * 1!) = 12 combinações possíveis.
Permutação com repetição e a aprendizagem contínua
Ao longo deste artigo, você conheceu o fascinante mundo da permutação, com um foco especial na permutação com repetição. Este conceito, embora possa parecer complexo à primeira vista, é fundamental em diversos campos da matemática, ciência e até mesmo em situações cotidianas.
A permutação circular, por sua vez, mostra uma nova perspectiva sobre como organizar objetos, destacando a importância da ordem relativa. Ambos os conceitos são testemunhos da beleza e profundidade da matemática, uma ciência que continua a desafiar e fascinar mentes curiosas ao redor do mundo.
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