Associação de Resistores

Suponha que esteja em um laboratório de eletrônica e precise utilizar um resistor de $300$ $\Omega$. Entretanto, o laboratório só dispõe de resistores de $100$ $\Omega$. O que fazer?

Uma forma de utilizar os resistores disponíveis é organizá-los de forma que um conjunto interligado de resistores seja equivalente ao resistor desejado. Esse conjunto é chamado de associação de resistores, e a resistência desejada recebe o nome de resistência equivalente.

Há três tipos de associação de resistores: em série, em paralelo e mista.

Uma associação de resistores em série é a organização dos resistores de modo que não exista divisão na trajetória da corrente. A associação em série consiste em um único trajeto condutor, sem ramificações.

Desse modo, como não há divisão da corrente, a corrente em cada resistor deve ser a mesma, como mostrado na figura abaixo:

Pela figura, nota-se que a diferença de potencial entre os pontos A e B pode ser escrita como a soma da diferença de potencial nos terminais de cada resistor:

$$U_{AB}= U_{1}+U_{2}+U_{3}$$

Pela Primeira Lei de Ohm, temos que:

$$U_{1} = R_{1}.i\quad U_{2} = R_{2}.i\quad U_{3} = R_{3}.i$$

Logo, a diferença de potencial da associação é dada por:

$$U_{AB}=R_{1}.i+R_{2}.i+R_{3}.i \Rightarrow U_{AB}=(R_{1}+R_{2}+R_{3})i$$

Comparando essa associação de resistores a um resistor equivalente ($R_{eq}$):

Onde:

$U_{AB}=R_{eq}.i$

E, comparando essa equação com a equação anterior, concluimos que a resistência equivalente da associação em série é:

$$R_{eq}=R_{1}+R_{2}_+R_{3}$$

Esse exemplo com três resistores pode ser estendido a um número qualquer de resistores. Logo, de forma geral na associação em série:

$$U=U_{1}+U_{2}+U_{3}\ldots+U_{n}$$ 

\$$R_{eq}=R_{1}+R_{2}+R_{3}\ldots+R_{n}$$

Para $n$ resistências iguais a $R$, temos que a resistência equivalente é:

$$R_{eq}=n.R$$

Vale destacar: a resistência equivalente de uma associação em série é sempre maior que qualquer resistor presente na associação.

Imagine que uma pessoa more em uma cidade onde a tensão distribuída para a rede elétrica nas residências é de $220$ $V$.

Sempre que essa pessoa adquirir algum eletrodoméstico, será preciso que ele seja fabricado para operar com $220$ $V$, caso contrário, o aparelho irá apresentar mal funcionamento, podendo ocasionar a queima do dispositivo.

Uma associação de resistores em paralelo é o que ocorre quando conectamos algum eletrodoméstico nas tomadas de uma residência.

A associação em paralelo equivale em ligar todos os resistores em uma mesma diferença de potencial (ddp).

Desse modo, a corrente se divide entre os resistores, como podemos observar na figura abaixo:

A divisão da corrente ocorre em função das resistências da associação. Então somente no caso em que as resistências são iguais a corrente irá se dividir igualmente.

A corrente total pode ser avaliada como:

$$i=i_{1}+i_{2}+i_{3}$$

Pela Primeira Lei de Ohm:

$$i_{1} =\frac{U_{AB}}{R_{1}}\quad i_{2} = \frac{U_{AB}}{R_{2}}\quad i_{3} =\frac{U_{AB}}{R_{3}}$$

Substituindo essas relações na expressão para a corrente total:

 $$i=U_{AB}(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}})$$

Para o resistor equivalente, temos que: $i=U/Req$.

Substituindo para a corrente:

$$\frac{U_{AB}}{R_{eq}}=\frac{U_{AB}}{R_{1}}+\frac{U_{AB}}{R_{2}}+\frac{U_{AB}}{R_{3}}\Rightarrow \frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}$$

Para $n$ resistores generalizando nessa associação:

$$i=i_{1}+i_{2}+i_{3}\ldots+i_{n}$$\

$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}\ldots+\frac{1}{R_{n}}$$

No caso de apenas dois resistores, temos:

$$R_{eq}=\frac{R_{1}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$

Se houver $n$ resistências iguais a $R$, a resistência equivalente é escrita como:

$$R_{eq}=\frac{R}{n}$$

Na associação em paralelo, a resistência equivalente sempre será menor que qualquer resistência do circuito.

Na maioria das ocasiões, é possível encontrar, em uma mesma associação, alguns resistores associados em série e outros em paralelo. Nesse caso, chamamos de associação mista, como mostrado na imagem abaixo:

Para encontrar a resistência equivalente dessa associação de resistores, resolvemos o problema por partes. Primeiro, encontramos o resistor equivalente da associação em paralelo e, em seguida, a associação em série.

Associação em paralelo equivalente a:

$\frac{1}{60}+\frac{1}{30}=\frac{1}{20} \Rightarrow R'_{eq} =20$ $\Omega$

Associação em série equivalente a:

$80 +20+120 = 220 \Rightarrow R_{eq}= 220$ $\Omega$

Então, a resistência equivalente desta associação mista é $220$ $\Omega$.